2023年香港IMO代表队第三次选拔考试试题

非零实数𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎𝑏𝑐=2．求证：2𝑎−(1)/(𝑏),2𝑏−(1)/(𝑐),2𝑐−(1)/(𝑎)中至多两个大于2．

将(39)/(1428)转换为二进制的小数，求该小数的循环周期．
注：将分数化为小数时（在任意进制下），要么为有限小数，要么形式为
公式：0.b_1b_2\cdots b_sa_1a_2\cdots a_ka_1a_2\cdots a_k\cdots
其中重复的序列𝑎_(1)𝑎_(2)⋯𝑎_(𝑘)称为循环节，最小的循环节长度𝑘称为小数的循环周期．

给定一个2023×2023的方格网，在其中一些单元格内有甲虫，每个单元格上最多有一只甲虫．在第一分钟，每只甲虫将向其左或右相邻的方格移动一格．在第二分钟，每只甲虫将再次移动，只是这一次，如果甲虫在前一分钟向右或左移动，它将在这一分钟向上或下移动一格，反之亦然，如此重复．求正方形网格中的甲虫的最小数量，以确保无论甲虫最初在哪里，以及它们在第一分钟内如何移动，但在有限分钟后，至少有两只甲虫会在某个单元格相遇．

设四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于圆Γ，且满足𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷．𝑀和𝑁分别为𝐴𝐷和𝐴𝐵的中点，直线𝐶𝑀和Γ再次交于点𝐸．求证：Γ在𝐸处的切线、直线𝐴𝐷、直线𝐶𝑁三线共点．