等轴双曲线内接正三角形的面积最小值

在平面直角坐标系中，点𝐴，𝐵，𝐶在双曲线𝑥𝑦=1上，满足△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．求△𝐴𝐵𝐶的面积的最小值．

注：本题改编自2020年高联一试第11题，原题为等腰直角三角形．

首先我们有一个关于等轴双曲线的熟知结论：

命题1： 等轴双曲线𝑥𝑦=𝑚上任意三点构成的三角形的九点圆（中点三角形的外接圆）过原点．

证明： 如图，首先有𝐷为𝐺𝐻中点．（将𝐵𝐶分别与𝑥𝑦=𝑚、𝑥𝑦=0联立，由韦达定理知𝐵𝐶中点和𝐺𝐻中点重合．也可以利用反比例函数的等面积性质，使用纯几何方法证明．）

于是𝑂𝐷为直角△𝑂𝐺𝐻的斜边中线．

∴∠𝐷𝑂𝐺=∠𝐷𝐺𝑂，同理∠𝐸𝑂𝐽=∠𝐸𝐽𝑂．于是

公式：\begin{aligned} \angle EOD=&\angle EOJ+\angle JOG+\angle GOD\\ =&\angle EJO+90^{\circ}+\angle OGD\\ =&90^{\circ}+\angle JOG-\angle C\\ =&180^{\circ}-\angle DFE \end{aligned}

于是𝑂、𝐷、𝐹、𝐸四点共圆，证毕．

接下来证明等轴双曲线上的内接三角形满足的充要条件．

命题2： 点𝐴，𝐵，𝐶在等轴双曲线𝑥𝑦=𝑚上，则△𝐴𝐵𝐶为正三角形的充要条件为：△𝐴𝐵𝐶的外接圆和双曲线的第四个交点恰为△𝐴𝐵𝐶外心𝑃关于原点𝑂的对称点．

证明： 易知三角形的外接圆和九点圆关于重心位似，相似比为2:1．

当△𝐴𝐵𝐶为正三角形时，重心、外心、九点圆心重合于三角形中心，于是由九点圆过原点知，外接圆过外心关于原点的对称点．

反之也能得到外心和九点圆心重合，于是也和重心重合，故三角形为正三角形．

回到原题．

由命题2可知，△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径𝑅=(1)/(2)|𝑂𝑃|，于是𝑆_(△𝐴𝐵𝐶)=(3√(3))/(4)𝑅^(2)．

只需求𝑥𝑦=1上任意一点(𝑥,(1)/(𝑥))到原点距离的最小值，由均值不等式知显然为√(2)．

于是△𝐴𝐵𝐶面积的最小值为(3√(3))/(8)．