几道与圆幂有关的问题

1. Γ_(1)和Γ_(2)为相交两圆，它们的一条公切线和Γ_(1)切于点𝐴，和Γ_(2)切于点𝐵．求证：Γ_(1)和Γ_(2)的公共弦所在直线平分线段𝐴𝐵．

证明：

设公共弦所在直线与𝐴𝐵交于点𝑀，则𝑀在Γ_(1)和Γ_(2)的根轴上，于是𝑀对两圆的幂相等，即𝑀𝐴^(2)=𝑀𝐵^(2)，也即𝑀𝐴=𝑀𝐵．

2. 设𝐶为以线段𝐴𝐵为直径的半圆上一点，𝐷为弧𝐴𝐶的中点．过点𝐷作𝐵𝐶的垂线交𝐵𝐶延长线于点𝐸，线段𝐴𝐸和半圆交于点𝐹．求证：𝐵𝐹平分线段𝐷𝐸．

证明：

记以𝐴𝐵为直径的圆为Γ，以𝐵𝐸为直径的圆为Γ_(1)．由∠𝐴𝐹𝐵=90^(∘)知Γ_(1)过点𝐹．

由∠𝐷𝐸𝐵=90^(∘)知𝐷𝐸和Γ_(1)相切．于是𝐷𝐸为Γ和Γ_(1)的公切线，而𝐵𝐹为Γ和Γ_(1)的公共弦．

由第1题知：𝐵𝐹平分线段𝐷𝐸．

3. 设𝐴，𝐵，𝐶为圆Γ上三点，且𝐴𝐵=𝐵𝐶．过点𝐴和点𝐵的切线交于点𝐷．𝐷𝐶和Γ再次交于点𝐸．求证：𝐴𝐸平分线段𝐵𝐷．

证明：

设△𝐴𝐷𝐸的外接圆为Γ_(1)．由第1题：只需证𝐷𝐵和Γ_(1)相切．

事实上：

公式：\angle ADB=180^{\circ}-2\angle ABD=\angle ABC=\angle AEC

由弦切角定理的逆定理即证．

4. (2000年IMO) 圆Γ_(1)，Γ_(2)交于𝑀，𝑁两点．两圆的一条外公切线𝑙分别与Γ_(1)，Γ_(2)切于点𝐴，𝐵．过𝑀且与𝑙平行的直线分别与Γ_(1)，Γ_(2)交于不同于𝑀的点𝐶，𝐷．设直线𝐶𝐴与𝐷𝐵交于点𝐸，直线𝐴𝑁与𝐶𝐷交于点𝑃，直线𝐵𝑁与𝐶𝐷交于点𝑄．求证：𝐸𝑃=𝐸𝑄．

证明：

设𝑁𝑀交𝐴𝐵于点𝑋．由第1题知：𝑋为𝐴𝐵的中点．

因为𝑃𝑄平行于𝐴𝐵，由线束定理，𝑀为𝑃𝑄中点．

由于∠𝑀𝐴𝐵=∠𝑀𝐶𝐸=∠𝐵𝐴𝐸，∠𝑀𝐵𝐴=∠𝑀𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐸，于是𝐸和𝑀关于𝐴𝐵对称．

故𝐸𝑀⊥𝑃𝑄，结合𝑀为𝑃𝑄中点知：𝐸𝑃=𝐸𝑄．

5. △𝐴𝐵𝐶为锐角三角形．过𝐵作𝐴𝐶的垂线，和以𝐴𝐶为直径的圆交于𝑃，𝑄两点；过𝐶作𝐴𝐵的垂线，和以𝐴𝐵为直径的圆交于𝑅，𝑆两点．求证：𝑃，𝑄，𝑅，𝑆四点共圆．

证明：

设𝐷为𝐴在𝐵𝐶上的射影，𝐻为△𝐴𝐵𝐶的垂心．

由∠𝐴𝐷𝐵=90^(∘)知，点𝐷在以𝐴𝐵为直径的圆上．由圆幂定理：

同理

于是

即𝑃，𝑄，𝑅，𝑆四点共圆．

6. 锐角△𝐴𝐵𝐶的垂心为𝐻．在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上分别取点𝑀、𝑁．设以𝐵𝑁为直径的圆和以𝐶𝑀为直径的圆交于𝑃、𝑄两点．求证：𝑃，𝑄，𝐻三点共线．

证明：

只需证𝐻在两圆的根轴上，即证明𝐻对两圆的幂相等．

设𝐵𝐸、𝐶𝐹为△𝐴𝐵𝐶的两条高．由∠𝐵𝐸𝑁=90^(∘)知点𝐸在以𝐵𝑁为直径的圆上．于是点𝐻对以𝐵𝑁为直径的圆的幂为𝐻𝐵⋅𝐻𝐸．

同理点𝐻对以𝐶𝑀为直径的圆的幂为𝐻𝐶⋅𝐻𝐹．

由∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐹𝐶=90^(∘)知𝐵，𝐶，𝐸，𝐹四点共圆，于是𝐻𝐵⋅𝐻𝐸=𝐻𝐶⋅𝐻𝐹．证毕．

7. (欧拉定理) 设△𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，内心为𝐼外接圆半径为𝑅，内切圆半径为𝑟．求证：𝑂𝐼^(2)=𝑅(𝑅−2𝑟)．

证明：

延长𝐴𝐼交△𝐴𝐵𝐶的外接圆于点𝐷．于是点𝐼对⊙𝑂的幂为

公式：R^2-IO^2=\dfrac{r}{\sin\frac{A}{2}}\cdot 2R\sin\frac{A}{2}=2Rr

证毕．

8. (1998年USAMO) C_(1)和C_(2)为同心圆，C_(2)在C_(1)内部．设𝐴为C_(1)上一点，𝐵为C_(2)上一点，且𝐴𝐵和C_(2)相切．延长𝐴𝐵交C_(1)于点𝐶，𝐷为𝐴𝐵的中点．过𝐴作直线和C_(2)交于𝐸，𝐹两点，使得𝐷𝐸的中垂线和𝐶𝐹的中垂线交于直线𝐴𝐵上一点𝑀．求(𝐴𝑀)/(𝑀𝐶)的值．

解答：

易知𝐵为𝐴𝐶中点．

由圆幂定理：𝐴𝐸⋅𝐴𝐹=𝐴𝐵^(2)=𝐴𝐷⋅𝐴𝐶．于是𝐷，𝐶，𝐹，𝐸四点共圆，记为Γ．

弦𝐷𝐸和𝐶𝐹中垂线的交点𝑀必为Γ的圆心．

由于𝑀在𝐶𝐷上，故𝐶𝐷为Γ的一条直径，即𝑀为𝐶𝐷的中点．因此

公式：\frac{MC}{AC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{DC}{AC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}

即公式：\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{5}{3}．

9. 点𝐷、点𝐸分别为△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵、𝐴𝐶上一点，且𝐷𝐸平行于𝐵𝐶．𝑃为△𝐴𝐷𝐸内部任意一点，𝑃𝐵、𝑃𝐶分别和𝐷𝐸交于点𝐹、𝐺．△𝑃𝐷𝐺和△𝑃𝐹𝐸的另一个交点为𝑄．求证：𝐴、𝑃、𝑄三点共线．

证明：

设△𝐷𝑃𝐺的外接圆和𝐴𝐵再次交于点𝑀，△𝐸𝑃𝐹的外接圆和𝐴𝐶再次交于点𝑁．

只考虑𝑀和𝑁在线段𝐴𝐵和𝐴𝐶上的情形，其余情形类似．

由公式：\angle ABC=\angle ADG=180^{\circ}-\angle BDG=180^{\circ}-\angle MPC知，𝐵、𝑀、𝑃、𝐶四点共圆，同理𝐵、𝑃、𝑁、𝐶四点共圆．

于是𝐵、𝐶、𝑁、𝑃、𝑀五点共圆．

因此∠𝐴𝑁𝑀=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐸，即𝑀、𝑁、𝐷、𝐸四点共圆．由圆幂定理：

即点𝐴对△𝐷𝑃𝐺和△𝐸𝑃𝐹的外接圆等幂，因此在它们的根轴上，即𝐴、𝑃、𝑄三点共线．

10. (1995年IMO) 设𝐴、𝐵、𝐶、𝐷是按顺序在一条线上的四个不同的点．分别以𝐴𝐶和𝐵𝐷为直径的圆交于𝑋和𝑌．直线𝑋𝑌交𝐵𝐶于𝑍．设𝑃是直线𝑋𝑌上不同于𝑍的一点．直线𝐶𝑃交以𝐴𝐶为直径的圆于𝐶和𝑀，直线𝐵𝑃交以𝐵𝐷为直径的圆于𝐵和𝑁．求证：直线𝐴𝑀、𝐷𝑁、𝑋𝑌共点．

证明：

由圆幂定理：

于是𝐵、𝐶、𝑀、𝑁四点共圆．

由题意知：∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐵𝑁𝐷=90^(∘)．

于是

公式：\angle MND=90^{\circ}+\angle MNB=90^{\circ}+\angle MCA=180^{\circ}-\angle MAD

即𝐴、𝐷、𝑁、𝑀四点共圆．

因此𝐴𝑀、𝐷𝑁、𝑋𝑌分别为圆𝐴𝑀𝑋𝐶、𝐵𝑋𝑁𝐷、𝐴𝑀𝑁𝐷两两的根轴，所以三线共点于根心．

更多圆幂相关问题，可以参考金磊老师编著的《圆幂与根轴》一书．