2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）几何组

A组

1. 一个圆内切于一个面积为2024的正八边形中，设其内接正八边形的面积为𝑎+𝑏√(𝑐)，其中𝑎，𝑏，𝑐为整数，𝑐无平方因子．求𝑎+𝑏+𝑐的值．

2. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=8，𝐴𝐶=10，𝐴𝐷=√(33)，其中𝐷为𝐵𝐶中点．过𝐷作𝐴𝐵和𝐴𝐶的垂线，分别交𝐴𝐵、𝐴𝐶于点𝐸、𝐹．设𝐸𝐹的长度为(𝑎√(𝑏))/(𝑐)，其中𝑎，𝑏，𝑐为互质的整数，𝑐无平方因子．求𝑎+𝑏+𝑐的值．

3. 在以𝑂为圆心的圆内，两条平行弦𝐴𝐵和𝐶𝐷的距离为2，且𝐴𝐵=8，𝐶𝐷=10，𝐴𝐶<𝐴𝐷．设tan∠𝐵𝑂𝐷=(𝑎)/(𝑏)，其中𝑎，𝑏为正整数，且gcd(𝑎,𝑏)=1．求𝑎+𝑏的值．

4. 在梯形𝐵𝐶𝐷𝐸中，𝐵𝐸∥𝐶𝐷，𝐵𝐸=20，𝐵𝐶=2√(34)，𝐶𝐷=8，𝐷𝐸=2√(10)．过点𝐸作𝐵𝐷的平行线，过点𝐵作𝐵𝐸的垂线，两条直线交于点𝐴．设𝑀为对角线𝐵𝐷和𝐶𝐸的交点，𝑋为𝐴𝑀和𝐵𝐸的交点．设𝐵𝑋=(𝑎)/(𝑏)，其中𝑎，𝑏为正整数，且gcd(𝑎,𝑏)=1．求𝑎+𝑏的值．

5. 在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，𝐴𝐵∥𝐸𝐷，∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐷𝐴，𝐴𝐵=8，𝐴𝐶=12，𝐴𝐸=10．设△𝐶𝐷𝐸的面积为(𝑎√(𝑏))/(𝑐)，其中𝑎，𝑏，𝑐为互质的整数，𝑐无平方因子．求𝑎+𝑏+𝑐的值．

6. 已知三个圆𝜔_(1)，𝜔_(2)，𝜔_(3)，𝜔_(3)和𝜔_(1)外切于点𝐶，和𝜔_(2)内切于点𝐷，且𝜔_(1)和𝜔_(2)相交于𝐴、𝐵两点．设𝜔_(1)的半径为20，𝜔_(2)的半径为15，𝜔_(3)的半径为6．设𝐶𝐷和𝐴𝐵交于点𝑋，若𝐴𝐵=24，𝐶𝑋=(𝑎√(𝑏))/(𝑐)，其中𝑎，𝑏，𝑐为互质的整数，𝑐无平方因子．求𝑎+𝑏+𝑐的值．

7. △𝐴𝐵𝐶的三边长𝐴𝐵=13，𝐴𝐶=17，𝐵𝐶=20．点𝐸为𝐵在𝐴𝐶上的投影，点𝐹为𝐶在𝐴𝐵上的投影．△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹再次相交于点𝑃．设𝐴𝑃=(𝑎√(𝑏))/(𝑐)，其中𝑎，𝑏，𝑐为互质的整数，𝑐无平方因子．求𝑎的值．

8. 锐角△𝐴𝐵𝐶的三边长𝐴𝐵=7，𝐵𝐶=12，𝐴𝐶=10，内切圆𝜔和𝐴𝐵切于点𝐹，和𝐴𝐶切于点𝐸，𝐸𝐹和𝐵𝐶相交于点𝑋．设∠𝐵𝐴𝐶的平分线将𝐸𝑋中点和𝐶所连的线段所分成的两段之比为(𝑎)/(𝑏)，其中𝑎，𝑏为正整数，且gcd(𝑎,𝑏)=1．求𝑎+𝑏的值．

B组

1. 在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=30^(∘)．𝑋为𝐴在𝐵𝐶上的投影，𝑌为𝐶在𝐴𝐵上的投影．若𝐴𝑋=20，𝐶𝑌=22，求平行四边形的面积．

2. 一个圆柱体的高为20，底面半径为5，一个垂直于底面的平面将圆柱体分成两部分，截面的面积为100√(2)．设较大的那一部分的体积为𝑎+𝑏𝜋，其中𝑎，𝑏为正整数．求𝑎+𝑏的值．

3. 同A组第1题

4. 同A组第2题

5. 同A组第3题

6. 同A组第4题

7. 同A组第5题

8. 同A组第6题