赛题翻译
系列：伊比利亚美洲大学
2021年伊比利亚美洲大学生数学竞赛
公众号原标题：2021年伊比利亚美洲大学生数学竞赛——中文翻译（显示标题做过精简）
正文文字 325 字公式 56 处
对每个0<𝛼<1，记𝑅(𝛼)为ℝ^(2)中以(0,1−𝛼)，(𝛼,0)，(1,0)，(1,1)和(0,1)为顶点的凸五边形内部区域．设𝑅为同时属于所有𝑅(𝛼)(0<𝛼<1)的点组成的集合，即𝑅=⋂_(0<𝛼<1)𝑅(𝛼)．求𝑅的面积． 设正整数𝑟>𝑠．𝑃(𝑥)和𝑄(𝑥)为两个不同的非常数实系数多项式，且满足对任意𝑥∈ℝ，都有 
公式：P(x)^{r}-P(x)^{s}=Q(x)^{r}-Q(x)^{s}．求证：(𝑟,𝑠)=(2,1)．设𝑚，𝑛，𝑁为正整数，ℤ_(𝑁)={0,1,⋯,𝑁−1}为模𝑁的一个完全剩余系．考虑一个𝑚×𝑛的表格，其每个单元格中均填入了ℤ_(𝑁)中的一个元素．在每次操作中，可以选择某个元素𝑔∈ℤ_(𝑁)，并选择表格中的某个单元格，将其所在行、列的所有元素均加上𝑔（所得结果模𝑁）．求证：若𝑁和𝑚−1，𝑛−1，𝑚+𝑛−1都互素，则表格中元素的任意初始排列都可以通过有限次操作得到任意其它排列． 设ℤ^(+)为正整数集．
a)求证：恰好存在一个函数𝑓：ℤ^(+)→ℤ^(+)，严格递增，且满足对任意𝑛∈ℤ^(+)，都有𝑓(𝑓(𝑛))=2𝑛+1．
b)对于a中的函数，求证：对于任意𝑛∈ℤ^(+)，都有(4𝑛+1)/(3)≤𝑓(𝑛)≤(3𝑛+1)/(2)．
c)求证：对于b中的不等式两边的不等式，均有无数个正整数𝑛，使得等号成立．对每个正整数𝑛，设𝑠(𝑛)为𝑛的质因数分解中，71和97的次数之和．例如：𝑠(2021)=𝑠(43⋅47)=0，𝑠(488977)=𝑠(71^(2)⋅97)=3．定义𝑓(𝑛)=(−1)^(𝑠(𝑛))，求证：极限 
公式：\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{f(1)+f(2)+\cdots+f(n)}{n}存在，并求出它的值．设实数0≤𝑎<𝑏．求证：对任意整数𝑛≥0，不存在连续函数𝑓：[𝑎,𝑏]→ℝ，使得∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑥^(2𝑛)d𝑥>0，且∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑥^(2𝑛+1)d𝑥<0．
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