2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）组合组

A组

1. 在正八边形中随机选择两条不同的对角线，设这两条对角线在正八边形内部相交的概率为(𝑎)/(𝑏)，𝑎和𝑏为互质的正整数，求𝑎+𝑏的值．

2. 18个人排成一队进入杂货店，其中5人戴黑色口罩，6人戴灰色口罩，7人戴白色口罩．假设所有人按照随机的顺序排队，相邻且戴不同颜色口罩的二人组个数的期望为(𝑎)/(𝑏)，𝑎和𝑏为互质的正整数，求𝑎+𝑏的值．

3. Nelson让他的朋友从一栋12英尺高的建筑物上扔下他独特的弹力球，而Nelson只会在每次球弹到最高点时接住球．在每次反弹中，弹力球能达到的最高点有80%的概率为上一次最高点高度的(1)/(3)，有20%的概率为上一次最高点高度的3倍（初始高度为12英尺）．若Nelson只能接住4英尺高度的球，且他会尽快接住球．设Nelson在球恰好反弹13次时接住的概率为2^(𝑎)×3^(𝑏)×5^(𝑐)×7^(𝑑)×11^(𝑒)，其中𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒均为整数．求|𝑎|+|𝑏|+|𝑐|+|𝑑|+|𝑒|的值．

4. 编号为1，2，⋯，𝑛的𝑛片睡莲从左到右拍成一行．一只青蛙随机选择一片睡莲开始，每过一秒跳到一片相邻的睡莲上．如果存在两片睡莲，当青蛙在其上时，向右跳的概率是向左跳的两倍．且在有限秒之后，存在两片睡莲𝐴和𝐵，使得青蛙在𝐴上的概率为在𝐵上概率的1000倍以上．求最小的𝑛，使得该情况一定会发生．

5. 一台普林斯顿老虎机上有100张图片，每张出现的概率相同，其中一张图片为老虎．Alice和Bob独立地进行游戏，直到看见老虎的图片后停止．已知Bob所用时间为Alice的两倍，设Alice的游戏次数的期望为(𝑎)/(𝑏)，𝑎和𝑏为互质的正整数，求𝑎+𝑏除以1000的余数．

6. Alice，Bob和Carol进行一个游戏．每一回合，他们其中一人说出3名玩家的名字之一，从{Alice,Bob,Carol}中随机选择．游戏从Alice开始，Bob第二，Carol第三，接下来重复这个顺序．设首次出现三个名字都被说出2次时的回合数期望为𝐸．设𝐸=(𝑚)/(𝑛)，𝑚和𝑛为互质的正整数，求𝑚+𝑛的值．

7. Cassidy有一个由0和1构成的𝑛位字符串，其中𝑛为正整数，每次Cassidy选择以下两个操作之一：

• 将第一位改变（即将0变成1，或者将1变成0）；
• 将第一个1的后一位改变．

设𝑀为Cassidy将11⋯1改变为00⋯0（均为12位）所需要的最少次数，𝑁为最终能改变为00⋯0的12为字符串的个数．求𝑀+𝑁的值．

8. 普林斯顿大学的物理学家们正在尝试使用以下实验分析原子纠缠．开始时，空间中只有一个原子，它按照以下程序开始分裂．若在𝑛分钟后存在原子𝑎_(1)，⋯，𝑎_(𝑁)，在下一分钟每个原子𝑎_(𝑖)分裂成四个新的原子𝑎(1)𝑖，𝑎(2)𝑖，𝑎(3)𝑖，𝑎(4)𝑖．原子𝑎(𝑗)𝑖和𝑎(𝑘)𝑗是纠缠的，当且仅当原子𝑎_(𝑖)和𝑎_(𝑗)在第𝑛分钟后是纠缠的．此外，对任意1≤𝑖,𝑘≤𝑁，𝑗∈{1,2,3}，原子𝑎(𝑗)𝑖和原子𝑎(𝑗+1)𝑘也是纠缠的．在第一分钟后有4个原子，在第二分钟后有16个原子，依此类推．
   物理学家们对其中有奇数对纠缠原子的四原子无序集{𝑏_(1),𝑏_(2),𝑏_(3),𝑏_(4)}感兴趣．请问：3分钟后有多少个这样的四原子无序集？
   注：请注意原子纠缠不是传递的．换言之，若𝑎_(𝑖)和𝑎_(𝑗)纠缠，𝑎_(𝑗)和𝑎_(𝑘)纠缠，不意味着𝑎_(𝑖)和𝑎_(𝑘)纠缠．

B组

1. 如果在一个非空单词中，元音字母（A、E、I、O、U）和辅音字母（其余所有字母）交替出现，则称它为可发音词．不重复地使用字母P、U、M、A、C，最多能组成多少个可发音词？单词的长度可以小于5．

2. Neel和Roshan将前往纽瓦克自由国际机场各自搭乘航班．Neel计划在早上5:30到6:30之间的某个随机时间到达，而Roshan计划在早上5:40到6:40之间的某个随机时间到达．两人想在机场安检前短暂见面．因此，他们约定每个人在到达机场后将等待𝑛分钟，再通过安检．设使得他们至少有50%的概率见面的𝑛的最小值为𝑎+𝑏√(𝑐)的形式，其中𝑎，𝑏，𝑐均为整数，且𝑐无1以外的平方因子．求𝑎+𝑏+𝑐．

3. 同A组第1题

4. 同A组第2题

5. 同A组第3题

6. 同A组第4题

7. 同A组第5题

8. 同A组第6题