2022年国际大学生数学竞赛（IMC）

第一天

1. 设𝑓：[0,1]→(0,+∞)是一个可积函数，且满足对任意𝑥∈[0,1]，都有𝑓(𝑥)𝑓(1−𝑥)=1．求证：∫10𝑓(𝑥)𝑑𝑥≥1．

2. 对给定的正整数𝑛，求所有具有唯一实特征值的𝑛×𝑛实矩阵𝐴，使得存在整数𝑘≥𝑛，满足𝐴+𝐴^(𝑘)=𝐴^(𝑇)．

3. 设𝑝为质数．起初，已知跳蚤停留在数轴原点，每一分钟，跳蚤有三种选择：停留在原地，向左或向右跳动一个单位．记𝑓(𝑝)为跳蚤在𝑝−1秒后回到原点的方法数．（例如，𝑓(3)=3，因为跳蚤可以一直停留在原点，也可以先向左后向右，或者先向右后向左．）求𝑓(𝑝)模𝑝的余数．

4. 整数𝑛>3．设Ω为所有{1,2,⋯,𝑛}中三个不同元素构成的三元有序组组成的集合．将Ω中每个三元有序组染色，使得对任意1≤𝑎<𝑏<𝑐<𝑑<𝑒≤𝑛，(𝑎,𝑏,𝑐)和(𝑏,𝑐,𝑑)被染成不同颜色，记𝑚为满足要求所需的最少颜色数．求证：公式：\dfrac{1}{100}\log\log n \leq m \leq100\log \log n．

第二天

5. 将正43边形的每条边和对角线染成红、蓝二色之一，使得每个顶点都是20条红线和22条蓝线的端点．如果一个三角形的三条边颜色相同，则称为单色三角形．若存在2022个蓝色单色三角形，问有多少个红色单色三角形？

6. 设素数𝑝≤3．求证：存在(1,2,⋯,𝑝−1)的一个排列(𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑝−1))，使得公式：x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_{p-2}x_{p-1} \equiv 2 \pmod p．

7. 设𝐴_(1)，𝐴_(2)，⋯，𝐴_(𝑘)均为𝑛×𝑛的幂等复矩阵，且满足对任意1≤𝑖<𝑗≤𝑘，都有𝐴_(𝑖)𝐴_(𝑗)=−𝐴_(𝑗)𝐴_(𝑖)．求证：其中至少有一个矩阵的秩不超过(𝑛)/(𝑘)．

8. 设整数𝑛，𝑘≥3，𝑆为一个圆．在圆上均匀且独立地随机选取𝑛个位置放置蓝色点，选择𝑘个位置放置红色点．用𝐹表示红色点的凸包和蓝色点的凸包的交集．设𝑚为凸多边形𝐹的边数（特别地，若𝐹为空集，则𝑚=0）．求𝑚的数学期望．