用调整法证明2022年CGMO第8题

前言：写完后发现和AoPS上已有的一个解答非常相似，就不标原创了。

2022年中国女子数学奥林匹克第八题如下：

设𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(11)是非负实数，且总和等于1．对𝑖=1，2，⋯，11，记

公式：y_i=\begin{cases} x_i+x_{i+1},&若i是奇数\\ x_i+x_{i+1}+x_{i+2},&若i是偶数 \end{cases}

这里𝑥_(12)=𝑥_(1)．记公式：F(x_1,x_2,\cdots,x_{11})=y_1y_2\cdots y_{11}．
证明：当𝐹取得最大值时，一定有𝑥_(6)<𝑥_(8)．

首先写出𝐹的具体表达式：

公式：\begin{align*} F=&(x_1+x_2)(x_2+x_3+x_4)(x_3+x_4)(x_4+x_5+x_6)\\ &(x_5+x_6)(x_6+x_7+x_8)(x_7+x_8)(x_8+x_9+x_{10})\\ &(x_9+x_{10})(x_{10}+x_{11}+x_1)(x_{11}+x_1) \end{align*}

观察其中各个未知数的分布规律，可以发现𝑥_(3)只以𝑥_(3)+𝑥_(4)的形式出现，𝑥_(5)只以𝑥_(5)+𝑥_(6)的形式出现，𝑥_(7)只以𝑥_(7)+𝑥_(8)的形式出现，𝑥_(9)只以𝑥_(9)+𝑥_(10)的形式出现，𝑥_(11)只以𝑥_(11)+𝑥_(1)的形式出现．

故用公式：(x_{11}+x_1,x_2,0,x_3+x_4,0,x_5+x_6,0,x_7+x_8,0,x_9+x_{10},0)代替公式：(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11})，𝐹不变．

而上述过程等价于令𝑥_(3)=𝑥_(5)=𝑥_(7)=𝑥_(9)=𝑥_(11)=0，并令𝑥′1=𝑥_(11)+𝑥_(1)，𝑥′4=𝑥_(3)+𝑥_(4)，𝑥′6=𝑥_(5)+𝑥_(6)，𝑥′8=𝑥_(7)+𝑥_(8)，𝑥′10=𝑥_(9)+𝑥_(10)．（为方便书写，我们仍用𝑥_(1)，𝑥_(4)，𝑥_(6)，𝑥_(8)，𝑥_(10)）

于是题目变为：

非负实数𝑥_(1)，𝑥_(2)，𝑥_(4)，𝑥_(6)，𝑥_(8)，𝑥_(10)和为1，求

公式：\begin{align*} F=&(x_1+x_2)(x_2+x_4)x_4(x_4+x_6)\\ &x_6(x_6+x_8)x_8(x_8+x_{10})\\ &x_{10}(x_{10}+x_1)x_1 \end{align*}

的最大值．

继续找出现次数最少的项，发现是𝑥_(2)，故对𝑥_(2)进行调整．𝑥_(2)和𝑥_(1)，𝑥_(4)有关，所以将𝑥_(2)调整到𝑥_(1)和𝑥_(4)，考虑包含这三项的部分：

公式：G(x_1,x_2,x_4)=(x_1+x_2)(x_2+x_4)x_4(x_4+x_6)(x_{10}+x_1)x_1

我们证明：

公式：G(x_1+\dfrac{x_2}{2},0,x_4+\dfrac{x_2}{2})\geq G(x_1,x_2,x_4)

只需分别证明：

公式：(x_1+\dfrac{x_2}{2})^2(x_1+\dfrac{x_2}{2}+x_{10})\geq x_1(x_1+x_2)(x_1+x_{10})

公式：(x_4+\dfrac{x_2}{2})^2(x_4+\dfrac{x_2}{2}+x_6)\geq x_4(x_4+x_2)(x_4+x_6)

展开后显然成立．

于是我们已将𝑥_(2)调整为0．

故只需求

公式：F=x_1^2x_4^2(x_4+x_6)x_6(x_6+x_8)x_8(x_8+x_{10})x_{10}(x_{10}+x_1)

的最大值．

可以发现上式中𝑥_(1)与𝑥_(4)对称，𝑥_(6)与𝑥_(10)对称．

所以可继续用调整法证明𝑥_(1)=𝑥_(4)，𝑥_(6)=𝑥_(10)时，𝐹取最大值．（过程与上面基本相同，不再赘述）

我们设𝑥_(1)=𝑥_(4)=𝑎，𝑥_(6)=𝑥_(10)=𝑏，𝑥_(8)=𝑐．问题变为：

已知非负实数𝑎，𝑏，𝑐满足2𝑎+2𝑏+𝑐=1，求证：

𝐹=𝑎^(4)𝑏^(2)𝑐(𝑎+𝑏)^(2)(𝑏+𝑐)^(2)

取最大值时，𝑏<𝑐．

用待定系数法凑配系数：

公式：\begin{align*} F=&a^4b^2c(a+b)^2(b+c)^2\\ =&\dfrac{1}{\lambda_1^4\lambda_2^2\lambda_3\lambda_4^2\lambda_5^2}(\lambda_1a)^4(\lambda_2b)^2(\lambda_3c)(\lambda_4(a+b))^2(\lambda_5(b+c))^2\\ \leq&\dfrac{1}{\lambda_1^4\lambda_2^2\lambda_3\lambda_4^2\lambda_5^2}\left(\dfrac{4\lambda_1a+2\lambda_2b+\lambda_3c+2\lambda_4(a+b)+2\lambda_5(b+c)}{11}\right)^{11} \end{align*}

等号成立当且仅当

公式：\begin{cases} \lambda_1a=\lambda_2b=\lambda_3c=\lambda_4(a+b)=\lambda_5(b+c)=t\\ 4\lambda_1+2\lambda_4=2\lambda_2+2\lambda_4+2\lambda_5=2(\lambda_3+2\lambda_5) \end{cases}

于是

公式：\dfrac{2t}{a}+\dfrac{t}{a+b}=\dfrac{t}{b}+\dfrac{t}{a+b}+\dfrac{t}{b+c}=\dfrac{t}{c}+\dfrac{2t}{b+c}

即

公式：\begin{cases} \dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b+c}\\ \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b+c} \end{cases}

从中消去𝑎，得到

公式：\begin{align*} &\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{\dfrac{2}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b+c}}+b}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b+c}\\ \iff&\dfrac{6b+4c}{4b^2+3bc}=\dfrac{b+2c}{bc+c^2}\\ \iff&4b^3+5b^2c-4bc^2-4c^3=0 \end{align*}

设𝑘=(𝑏)/(𝑐)，则4𝑘^(3)+5𝑘^(2)−4𝑘−4=0．

设𝑓(𝑥)=4𝑥^(3)+5𝑥^(2)−4𝑥−4，则𝑓^(′)(𝑥)=12𝑥^(2)+10𝑥−4，故𝑓(𝑘)在(0,(√(73)−5)/(12))递减，在((√(73)−5)/(12),+∞)递增．且𝑓(0)=−4<0，𝑓(1)=1>0，于是𝑓(𝑥)=0有唯一正实根𝑘，且𝑘∈(0,1)，即(𝑏)/(𝑐)<1，也即𝑏<𝑐，证毕．