一道不等式的若干推广

《命题人讲座——代数不等式》中有一道例题：

正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=3．证明：

(1)/(𝑎^(2))+(1)/(𝑏^(2))+(1)/(𝑐^(2))≥𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2).

该不等式可加强为：

正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=3．证明：

(1)/(𝑎𝑏)+(1)/(𝑏𝑐)+(1)/(𝑐𝑎)≥𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2).

证明：

不等式等价于

注意到

只需证

公式：(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)\le 27

由三元均值不等式即证．

此加强可推广至𝑛元．

正实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)=𝑛．证明：

∏_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎_(𝑖)∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎2𝑖≤𝑛.

证明方法和上面是一样的．

如果将平方和改为立方和，则此结论对较小的𝑛不成立．事实上，有如下结论：

正整数𝑛≥20，正实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)=𝑛．证明：

∏_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎_(𝑖)∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎3𝑖≤𝑛.

（龚固）

此结论留给读者自行证明．

从另一角度出发，可以对开始不等式的四元形式进行加强．

正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=4．求证：

𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)+𝑑^(2)≤(2)/(𝑎𝑏)+(2)/(𝑐𝑑).

（陈计）

此不等式形式十分简洁，但证明难度很大．

如果直接对不等式右边使用均值不等式，进行加强，可以得到：

此结论不成立，一个反例为(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)=((2)/(3),(2)/(3),(2)/(3),2)．

事实上，我们有以下结论：

正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=4．求证：

公式：a^2+b^2+c^2+d^2\le\frac{64}{9\sqrt{3abcd}}.

此不等式的取等条件较为奇怪（就是上面的反例）．这里提供一个证明思路：

设𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)+𝑑^(2)=4(1+3𝑡^(2))，𝑡∈[0,1)．

可以先证：𝑎𝑏𝑐𝑑≤(1−𝑡)^(3)(1+3𝑡)．

于是只需证：公式：(1+3t^2)\sqrt{(1-t)^3(1+3t)}\le\dfrac{16}{9\sqrt{3}}．

求导即证．

对常数进行简单修改，可以加强为以下形式简洁的𝑛元不等式．

正实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎_(𝑖)=𝑛−1．求证：

公式：\sqrt[n]{\frac{n-1}{a_1a_2\cdots a_n}}\ge 4\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n(n-1)}}.

最后这题我还没有太好的想法，欢迎读者来稿进行交流．