加拿大CRUX杂志问题4771-4780

4771. 设𝐼为一个包含0和1的开区间，𝑓：𝐼→ℝ为为可微的严格递增的下凸函数．若𝑓^(′)(1)<2𝑓(1)，求证：存在正实数𝑎，𝑏，使得𝑛→∞时，

      公式：\int_{0}^1(f(x))^{2n+1}\mathrm{d}x\sim a\cdot\frac{b^n}{n}

      并将𝑎和𝑏写为关于𝑓(1)、𝑓^(′)(1)的函数．

4772. 求所有函数𝑓：(0,+∞)→(0,+∞)，使得对任意𝑥，𝑦∈(0,+∞)，都有

      公式：f(kx+f(y))=\frac{y}{k}\cdot f(xy+1)

      其中𝑘>0为给定的实参数．

4773. 𝑛≥3，𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)为非负实数，且𝑥_(1)+𝑥_(2)+⋯+𝑥_(𝑛)=2，𝑥_(1)𝑥_(2)+𝑥_(2)𝑥_(3)+⋯+𝑥_(𝑛−1)𝑥_(𝑛)=1．求证：至多有3个𝑥_(𝑖)不等于0，且至少有1个𝑥_(𝑖)等于1．

4774. 设△𝐴𝐵𝐶的内切圆半径为𝑟．𝐷、𝐸、𝐹分别在边𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐵上，且𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹分别为△𝐴𝐵𝐶三个内角的角平分线．求证：

      𝐹𝐸^(2)+𝐸𝐷^(2)+𝐷𝐹^(2)≥9𝑟^(2).

4775. 正实数𝐴和𝐵满足𝐴<𝐵，𝐴+𝐵<𝜋，设定义在(0,(1)/(2))上的函数

      公式：f(x)=\sin(\pi A)\sin(A+xB)-\sin(xB)\sin(B+xA).

      求证：𝑦=𝑓(𝑥)的图像与𝑥轴没有交点．

4776. 对任意正整数𝑛，求值：

其中[𝑎]和{𝑎}分别表示𝑎的整数部分和小数部分．

4777. 设𝑛∈ℕ，𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)≥1满足∑_(𝑖=1)^(𝑛)(1)/(𝑥_(𝑖))=1．求证：

      公式：\frac{n}{\frac{1}{2}+n^2}< \sum_{i=1}^n\frac{1}{\frac{1}{2}+x_i^2}< \frac{2}{3}.

4778. 设𝑓(𝑥)=2^(𝑥^(2))．求证：对任意𝑛∈ℕ\{1}，存在𝑎，𝑏∈ℕ\{1}，使得：
      (1)gcd(𝑎,𝑏)=1；
      (2)𝑛∣𝜑(𝑎)且𝑛∣𝜑(𝑏)；
      (3)𝑎，𝑏≤𝑓(𝑛)．
      其中𝜑(𝑛)为欧拉函数，表示不大于𝑛且和𝑛互素的正整数的个数．

4779. 设0<𝑎<𝑏，函数𝑓：[𝑎,𝑏]→ℝ在[𝑎,𝑏]上连续，在(𝑎,𝑏)上可导，且𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)．求证：存在相异实数𝑐_(1)，𝑐_(2)∈(𝑎,𝑏)，使得

      √(𝑏)𝑓^(′)(𝑐_(1))+√(𝑎)𝑓^(′)(𝑐_(2))=0.

4780. 设0<𝑎<，𝑚=(𝑎+𝑏)/(2)，𝑓：[𝑎,𝑏]→ℝ在[𝑎,𝑏]上可导，且导数连续，𝑓(𝑚)=0．求证：

      公式：2a^3\int_{-a}^a(f'(x))^2\mathrm{d}x\ge 3\left(\int_{-a}^2f(x)\mathrm{d}x\right)^2.