2021年加拿大数学奥林匹克资格复活赛

1. 求所有实系数多项式𝑝，使得对于任意实数𝑥，有

2. 求方程组

公式：\left\{ \begin{array}\\ xy+yz+zx=-4\\ x^2+y^2+z^2=24\\ x^3+y^3+z^3+3xyz=16 \end{array}\right.\

的所有整数解．

3. 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸为正五边形．圆𝐶_(1)和𝐶_(2)分别以𝐴和𝐶为圆心，且均过点𝐵．设𝐶_(1)和𝐶_(2)另一个交点为𝑃．以𝑃为圆心且过𝐷和𝐸的圆交𝐶_(2)于点𝑋，交𝐴𝐸于点𝑌．求证：𝐴𝑋=𝐴𝑌．
4. 设△𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，内心为𝐼．过𝐼作𝐼𝑂的垂线交△𝐴𝐵𝐶的内切圆于𝑃，𝑄两点．证明：△𝐴𝐵𝐶的外接圆直径等于△𝑂𝑃𝑄的周长．
5. Alphonse和Beryl进行一个游戏．开始时，有两个边长为整数的矩形．从Alphonse开始，双方轮流进行如下操作：选择其中一个矩形，将其沿着于边平行的方向切割为两个边长均为整数的矩形．然后从三个矩形（未切割的矩形以及切割成的两个矩形）中丢弃一个，保留剩下两个给另一个玩家．如果玩家无法切割矩形，则该玩家负．
   在下面两个游戏中，哪个玩家将获得胜利：（1）开始的两个矩形为1×2020和2×4040；
   （2）开始的两个矩形为100×100和100×500．
6. 证明方程

   公式：w^2+11x^2-8y^2-12yz-10z^2=0

   的整数解只能为(𝑤,𝑥,𝑦,𝑧)=(0,0,0,0)．
7. 实数𝐴，𝐵，𝐶满足

   公式：\cos(B-C)+\cos(C-A)+\cos(A-B)=-\dfrac{3}{2},

   求cos𝐴+cos𝐵+cos𝐶的值．
8. 国王Radford在他的宫殿举行宴会．他有一张巨大的圆形桌子，周围放着2021张椅子．在国王的生日宴会上，他坐在他的宝座上（其中2021张椅子之一），而其余2020张椅子上则坐满了客人．最矮的客人坐在国王的左边，其余的客人从下一个位置开始按照高度递增的顺序依次就座．国王宣布，其他所有人从椅子上站起来，绕着桌子随意跑动，再重新在椅子上坐下．这样做之后，国王注意到坐在他左边的人与之前不同，而桌子上其他人也注意到坐在它们左边的人是与之前不同的．
   求客人第二次入座的方法总数．可以用𝐷_(𝑛)（𝑛元集合的排列个数）作为答案的一部分．