加拿大CRUX杂志问题4691-4700

4691. △𝐴𝐵𝐶内接于圆Γ，𝑈_(1)，𝑈_(2)，𝑈_(3)为Γ上异于𝐴，𝐵，𝐶的三点．设𝜎_(𝑖)为𝑈_(𝑖)关于△𝐴𝐵𝐶的西姆松线（𝑖=1,2,3），𝜎_(𝑖)和𝜎_(𝑗)交于点𝑉_(𝑘)（{𝑖,𝑗,𝑘}={1,2,3}）．已知△𝑉_(1)𝑉_(2)𝑉_(3)和△𝑈_(1)𝑈_(2)𝑈_(3)全等，求证：△𝑉_(1)𝑉_(2)𝑉_(3)和△𝑈_(1)𝑈_(2)𝑈_(3)关于某点中心对称，并求出此对称中心．
4692. 非零实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎^(3)+𝑏^(3)+𝑐^(3)=0．求

      (𝑎+𝑏+𝑐)((1)/(𝑎)+(1)/(𝑏)+(1)/(𝑐))

      的最小值和此时𝑎，𝑏，𝑐的取值．
4693. 对任意正整数𝑛，求证：

公式：\sum\limits_{k=1}^{n} \sec ^{4} \frac{k \pi}{2 n+1}=\frac{8 n(n+1)\left(n^{2}+n+1\right)}{3}．

4694. △𝐴𝐵𝐶的内切圆分别与𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵切于点𝐷，𝐸，𝐹．𝐴^(′)，𝐵^(′)，𝐶^(′)分别为𝐴，𝐵，𝐶关于𝐸𝐹，𝐷𝐹，𝐷𝐸的对称点．求证：△𝐷𝐸𝐹和△𝐴^(′)𝐵^(′)𝐶^(′)的面积相等．

译者注：本题为陈嘉昊老师供题，可见《平面几何每日一题（四）解答》．

4695. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=𝑎，𝐶𝐴=𝑏，𝐴𝐵=𝑐，外接圆半径为𝑅．在△𝐴𝐵𝐶外部作等边三角形△𝐴_(1)𝐵𝐶，△𝐵_(1)𝐶𝐴，△𝐶_(1)𝐴𝐵．设𝐾，𝐿，𝑀依次为三个等边三角形的中心．求证：

      公式：S_{\triangle ALM}+S_{\triangle BMK}+S_{\triangle CKL}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2
4696. 求极限：

公式：\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{n-1}\right)^{n+1}}{\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots+\frac{x^{n}}{n}\right)^{n}} d x

4697. 设𝑓：ℕ→ℕ满足𝑓(1)=1，𝑓(2)=𝑎，其中𝑎∈ℕ．且对任意正整数𝑛≥3，𝑓(𝑛)为与𝑓(𝑛−1)互素，且不等于𝑓(1)，𝑓(2)，⋯，𝑓(𝑛−1)的最小正整数．求证：每个正整数均在𝑓(𝑛)中出现．

译者注：本题与2018年高联二试第四题类似，该题如下：

数列 {𝑎_(𝑛)} 定义如下：𝑎_(1)是任意正整数，对整数𝑛≥1，𝑎_(𝑛+1)是与∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎_(𝑖)互素，且不等于𝑎_(1)，⋯，𝑎_(𝑛)的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{𝑎_(𝑛)}中出现．

4698. 正实数𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)满足𝑥_(1)+𝑥_(2)+⋯+𝑥_(𝑛)=1．求证：

      ∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)ln(1+𝑥_(𝑖))<ln2．
4699. △𝐴𝐵𝐶为不等边三角形，𝐷和𝐸在三角形外部，𝐹为点𝐴到𝐵𝐶的垂足．若∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐸𝐶𝐴=∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐵𝐶𝐴，且𝐵𝐸，𝐶𝐷，𝐴𝐹交于一点𝑋，求证：𝐴𝑋=𝑋𝐹．
4700. 设𝐴𝐵𝐶𝐷为单位正方形，𝑀和𝑁分别在边𝐵𝐶和𝐶𝐷上，且满足∠𝑀𝐴𝑁=45^(∘)．求证：

      𝑀𝑁+𝐵𝑀⋅𝐷𝑁=1．