20道用阿贝尔变换证明的不等式

阿贝尔分部求和公式：
令𝑆_(0)=0，𝑆_(𝑘)=∑_(𝑖=1)^(𝑘)𝑎_(𝑖)（1≤𝑘≤𝑛），则

公式：\sum_{k=1}^{n} a_{k} b_{k}=\sum_{k=1}^{n-1} S_{k}\left(b_{k}-b_{k+1}\right)+b_{n} S_{n}．

证明：注意到𝑆_(0)=0，则

公式：\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} &=\sum_{k=1}^{n}\left(S_{k}-S_{k-1}\right) b_{k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} S_{k} b_{k}-\sum_{k=1}^{n-1} S_{k} b_{k+1} \\ &=\sum_{k=1}^{n-1} S_{k}\left(b_{k}-b_{k+1}\right)+S_{n} b_{n} \end{aligned}

从而结论成立．以下为一些可以用阿贝尔变换证明的不等式：

1. (阿贝尔不等式)设 𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)和𝑦_(1)≥𝑦_(2)≥⋯≥𝑦_(𝑛)≥0是实数，记𝑆_(𝑘)=∑_(𝑖=1)^(𝑘)𝑥_(𝑖),1≤𝑘≤𝑛，设𝑀=max{𝑆_(1),𝑆_(2),⋯,𝑆_(𝑛)}，𝑚=min{𝑆_(1),𝑆_(2),⋯,𝑆_(𝑛)}，则

   公式：my_1\le x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\le My_1.
2. (排序不等式)设𝑎_(1)≤𝑎_(2)≤⋯≤𝑎_(𝑛)，𝑏_(1)≤𝑏_(2)≤⋯≤𝑏_(𝑛)．𝑐_(1)，𝑐_(2)，⋯，𝑐_(𝑛)为𝑏_(1)，𝑏_(2)，⋯，𝑏_(𝑛)的一个排列，则

公式：\begin{align*} &a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1\\ \leq&a_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_nc_n\\ \leq&a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n \end{align*}

3. (改进切比雪夫不等式)设𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)和𝑏_(1)，𝑏_(2)，⋯，𝑏_(𝑛)是实数，且

公式：a_1\ge {a_1+a_2\over 2}\ge \cdots \ge {a_1+a_2+\cdots+a_n\over n}

公式：b_1\ge {b_1+b_2\over 2}\ge \cdots \ge {b_1+b_2+\cdots+b_n\over n}

证明：

公式：\begin{align*} &a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n \\ \geq&\dfrac{1}{n}(a_1+a_2+\cdots+a_n)(b_1+b_2+\cdots+b_n) \end{align*}

4. (Karamata不等式)若𝑎_(1)≥𝑎_(2)≥⋯≥𝑎_(𝑛)，𝑏_(1)≥𝑏_(2)≥⋯≥𝑏_(𝑛)，且𝑎_(1)≥𝑏_(1)，𝑎_(1)+𝑎_(2)≥𝑏_(1)+𝑏_(2)，⋯，公式：a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\geq b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}，𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)=𝑏_(1)+𝑏_(2)+⋯+𝑏_(𝑛)．𝑓为一个下凸函数，则

公式：\begin{aligned} &f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)\\ \geq &f(b_1)+f(b_2)+\cdots+f(b_n)\text{．} \end{aligned}

若𝑓为上凸函数，则不等号反向．

5. 给定正整数 𝑛, 对任意 1≤𝑘≤𝑛, 正实数 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 满足 𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑘)≤𝑘，证明:

公式：\frac{a_{1}}{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n} \leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\text{．}

6. (1978年IMO)已知 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 是两两不同的自然数, 证明:

公式：a_{1}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{3^{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{n^{2}} \geq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\text{．}

7. (1999年APMO)设 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯ 是正实数列, 且对所有 𝑖,𝑗=1,2,⋯, 满足 𝑎_(𝑖+𝑗)≤𝑎_(𝑖)+𝑎_(𝑗), 证明:

公式：a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\frac{a_{3}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n} \geq a_{n}, n \in \mathrm{N}^{+}\text{．}

8. 给定实数 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛+1), 记 公式：M=\max\limits _{1 \leq k \leq n}\left|a_{k}-a_{k+1}\right|, 证明:

公式：\left|\frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} a_{k}-\frac{1}{n+1} \cdot \sum_{k=1}^{n+1} a_{k}\right| \leq \frac{M}{2}\text{．}

9. 已知 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 均为实数, 证明:

公式：\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \geq \sum_{i=1}^{n-1} a_{i} a_{i+1}+\frac{3}{2(n+1)^{3}} \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{2}\text{．}

10. (钟开莱不等式) 给定整数 𝑛≥2, 设 𝑎_(1)≥𝑎_(2)≥⋯≥𝑎_(𝑛)>0, 且对任意 1≤𝑘≤𝑛, 有 𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯ +𝑎_(𝑘)≤𝑏_(1)+𝑏_(2)+⋯+𝑏_(𝑘), 求证:

• 公式：a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2} \leq b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}；
• 公式：a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\cdots+a_{n}^{3} \leq a_{1} b_{1}^{2}+a_{2} b_{2}^{2}+\cdots+a_{n} b_{n}^{2}．

11. (1994年USAMO)设 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 是正实数, 且对任意正整数 𝑛, 有 ∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎_(𝑖)≥√(𝑛), 证明:

公式：\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \geq \frac{1}{4} \cdot\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right)\text{．}

12. (2018年清华飞测)对任意 𝑛∈ℕ^(+), 设正实数 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 满足 𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)≤𝑛^(2), 证明:

公式：\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n}}>\frac{1}{4} \log _{2} n\text{．}

13. 设 𝑥_(1)≥𝑥_(2)≥⋯≥𝑥_(𝑛)≥𝑥_(𝑛+1)=0，证明

    公式：\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_n}\le \sum_{i=1}^n \sqrt{i}\left(\sqrt{x_i}-\sqrt{x_{i+1}}\right).
14. 设 公式：a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{R}, b_1\le b_2\le \cdots\le b_n，且

    公式：a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2\le b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2, k=1,2,\cdots,n

    证明：

15. 对1≤𝑖≤𝑛，令𝑎_(𝑖)与𝑏_(𝑖)为实数，且满足𝑎_(1)≥𝑎_(2)≥⋯≥𝑎_(𝑛)≥0，

公式：\begin{align*} b_1&\ge a_1\\b_1b_2&\ge a_1a_2\\b_1b_2b_3&\ge a_1a_2a_3\\&\vdots\\b_1b_2\cdots b_n&\ge a_1a_2\cdots a_n\end{align*}

证明：

公式：\sum\limits^{n}_{i=1}x_{i}[i\alpha]\geq\sum\limits^{n}_{i=1}y_{i}[i\alpha].

17. (2013年CTST)设𝑛，𝑘为给定的大于1的整数，非负实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)；𝑐_(1)，𝑐_(2)，⋯，𝑐_(𝑛)满足：𝑎_(1)≥𝑎_(2)≥⋯≥𝑎_(𝑛)，𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)=1，𝑐_(1)+𝑐_(2)+⋯+𝑐_(𝑚)≤𝑚^(𝑘)，𝑚=1,2,⋯,𝑛．求最大值：

    公式：c_{1}a_{1}^{k}+c_{2}a_{2}^{k}+\cdots+c_{n}a_{n}^{k}．
18. (1987年CTST)已知数列{𝑟_(𝑛)}满足：𝑟_(1)=2，𝑟_(𝑛)=𝑟_(1)𝑟_(2)⋯𝑟_(𝑛−1)+1，𝑛≥2．自然数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足(1)/(𝑎_(1))+(1)/(𝑎_(2))+⋯+(1)/(𝑎_(𝑛))<1．求证：

    公式：\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}\leq \dfrac{1}{r_{1}}+\dfrac{1}{r_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{r_{n}}.
19. (2000年RMO)设 −1<𝑥_(1)<𝑥_(2)<⋯<𝑥_(𝑛)<1， 𝑦_(1)<𝑦_(2)<⋯<𝑦_(𝑛)，且

    公式：x_{1}^{13}+x_{2}^{13}+\cdots+x_{n}^{13}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}.

    证明

    公式：x_{1}^{13}y_{1}+x_{2}^{13}y_{2}+\cdots+x_{n}^{13}y_{n}
20. （1994年USAMO)设 𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯是正实数数列，对所有的𝑛≥1满足条件∑_(𝑗=1)^(𝑛)𝑎_(𝑗)≥√(𝑛)．证明对所有的 𝑛≥1，

    ∑_(𝑗=1)^(𝑛)𝑎2𝑗>(1)/(4)(1+(1)/(2)+⋯+(1)/(𝑛)).