16道用数学归纳法证明的不等式

1. 用数学归纳法证明下列不等式：

• （柯西不等式）设 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 和 𝑏_(1),𝑏_(2),⋯,𝑏_(𝑛) 是两个实数列，则

  公式：(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\ge (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2.
• （权方和不等式）

  公式：{a_1^2\over b_1}+{a_2^2\over b_2}+\cdots+{a_n^2\over b_n}\ge {(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2\over b_1+b_2+\cdots+b_n}.
• （闵科夫斯基不等式）

  公式：\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+\cdots+\sqrt{a_n^2+b_n^2}\ge \sqrt{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2+(b_1+b_2+\cdots+b_n)^2}.
• （平方平均不等式）

  公式：(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2\le n(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2).
• （琴生不等式）假设 𝑓(𝑥) 时定义在 [𝑎,𝑏]∈ℝ 上的凸函数，实数 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛)∈[𝑎,𝑏]，对所有非负实数 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛)≥0， 𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)=1，则有

  公式：a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+\cdots+a_nf(x_n)\ge f(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n).

  （推论）若对于某种平均运算 𝑀 （算术，几何，调和等），当 𝑛=2 时有 公式：M(f(x),f(y))\ge f(M(x,y))，则对一般的 𝑛，有

  公式：M(f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n))\ge f(M(x_1,x_2,\cdots,x_n)).

2. （1992年APMO） 令 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯ 是一个数列，对于所有的 𝑖,𝑗，满足 𝑎_(𝑖+𝑗)≤𝑎_(𝑖)+𝑎_(𝑗) 证明：对于每个正整数 𝑛，有

   𝑎_(1)+(𝑎_(2))/(2)+(𝑎_(3))/(3)+⋯+(𝑎_(𝑛))/(𝑛)≥𝑎_(𝑛).
3. （1988年CMO） 在有限项的实数列 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 中，如果有一段数 𝑎_(𝑘),⋯,𝑎_(𝑘+𝑙−1) 的算术平均数大于1988，那么我们把这段数叫做一条“龙”，并把 𝑎_(𝑘) 称为这条龙的“龙头”（如果某一项 𝑎_(𝑚)>1988，那么单独这一项也是龙）．假定数列中至少存在一条龙，证明：数列中全体可以作为龙头的项的算术平均数也必定大于1988．
4. （2006年CMO） 实数列 {𝑎_(𝑛)} 满足

公式：a_{1}=\frac{1}{2},a_{k+1}=-a_{k}+\frac{1}{2-a_{k}},k=1,2,\cdots

证明不等式：

公式：\left(\frac{n}{2(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})}-1\right)^{n}\leq \left(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right)^{n}\cdot\prod_{i=1}^n\left(\frac{1}{a_{i}}-1\right).

5. （2009年CTST） 给定整数 𝑛≥2，求具有下述性质的最大常数 𝜆(𝑛)：若实数序列 𝑎_(0),𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 满足

   公式：0=a_{0}\leq a_{1}\leq \cdots \leq a_{n},\quad a_{i}\geq \frac{1}{2}(a_{i+1}+a_{i-1}), ~i=1,2,\cdots,n-1,

   则有

   公式：\left(\sum\limits_{i=1}^{n}ia_i\right)^{2}\geq \lambda (n)\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}.
6. （2013年CTST） 设整数 𝑛≥2， 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛)， 𝑏_(1),𝑏_(2),⋯,𝑏_(𝑛) 是非负实数．证明：

   公式：\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)+\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}\right)^{2}\geq \prod\limits_{i=1}^{n} \left(a_{i}^{2}+b_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{n}}.
7. 设 公式：x_{k}>0(k=1,2,\cdots,n),\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}=1，求证：

   公式： \prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1+x_{k}}{x_{k}} \geq \prod\limits_{k=1}^{n}\frac{n-x_{k}}{1-x_{k}} .
8. 证明对任何正整数 𝑁， √(2√(3⋯√((𝑁−1)√(𝑁))))<3．
9. （牛顿不等式）设 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 为非负实数. 𝑆_(𝑘) 表示第 𝑘 个初等对称多项式， 𝑑_(𝑘)=(𝑆_(𝑘))/(((𝑛)/(𝑘)))，则

   𝑑_(𝑘−1)𝑑_(𝑘+1)≤𝑑2𝑘.
10. 设 𝑎_(1)=1, 𝑎_(2)=2, 𝑎_(𝑛+1)=(𝑎_(𝑛)𝑎_(𝑛−1)+1)/(𝑎_(𝑛−1)), 𝑛=2,3,⋯. 证明：对任意正整数 𝑛≥3，都有 𝑎_(𝑛)>√(2𝑛).
11. 已知数列 {𝑎_(𝑛)} 满足𝑎_(0)=𝑎_(1)=1，𝑎_(𝑛)=√(𝑎_(𝑛−1)𝑎_(𝑛−2)+(𝑛)/(2))(𝑛≥2)．证明：存在实数 𝜆，使得对任意的正整数 𝑛，有 𝜆𝑛<𝑎_(𝑛)<𝜆𝑛+1.
12. 设 𝑎>0, 证明: 对任意正整数 𝑛, 有

公式：\frac{1+a^{2}+a^{4}+\cdots+a^{2 n}}{a+a^{3}+a^{5}+\cdots+a^{2 n-1}} \geq \frac{n+1}{n}\text{．}

13. 设 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛)∈(0,1),𝑛≥2, 证明:

公式：\frac{\sqrt{1-x_{1}}}{x_{1}}+\frac{\sqrt{1-x_{2}}}{x_{2}}+\cdots+\frac{\sqrt{1-x_{n}}}{x_{n}}<\frac{\sqrt{n-1}}{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}\text{．}

14. 设 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 为非负实数, 证明:

公式：\sum_{k=1}^{n} \sqrt{a_{k}+a_{k+1}+\cdots+a_{n}} \geq \sqrt{a_{1}+4 a_{2}+9 a_{3}+\cdots+n^{2} a_{n}}\text{．}

15. 已知正数 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛) 满足 𝑥_(1)𝑥_(2)⋯𝑥_(𝑛)=1, 证明:

公式：\left(\sqrt{2}+x_{1}\right)\left(\sqrt{2}+x_{2}\right) \cdots\left(\sqrt{2}+x_{n}\right) \geq(\sqrt{2}+1)^{n}\text{．}

16. 设 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 是正实数, 且满足 ∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎_(𝑖)=𝑛, 证明:

公式：a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}-n+3\right) \leq 3\text{．}