两道不等式问题的解答

证明：注意到公式：\dfrac{bc}{1+a^4}=\dfrac{b^3c^3}{b^2c^2+a^4b^2c^2}=\dfrac{(bc)^3}{(bc)^2+(ab)^2\cdot (ac)^2}．

设𝑏𝑐=𝑥，𝑐𝑎=𝑦，𝑎𝑏=𝑧，则𝑥+𝑦+𝑧=3．

原不等式变为公式：\dfrac{x^3}{x^2+y^2z^2}+\dfrac{y^3}{y^2+z^2x^2}+\dfrac{z^3}{z^2+x^2y^2}\geq\dfrac{3}{2}

即公式：\sum\limits_{cyc}\left(x-\dfrac{xy^2z^2}{x^2+y^2z^2}\right)\geq\dfrac{3}{2}，也即公式：\sum\limits_{cyc}\dfrac{xy^2z^2}{x^2+y^2z^2}\leq\dfrac{3}{2}．

而公式：\sum\limits_{cyc}\dfrac{xy^2z^2}{x^2+y^2z^2}\leq\sum\limits_{cyc}\dfrac{xy^2z^2}{2xyz}=\sum\limits_{cyc}\dfrac{yz}{2}\leq\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{3}{2}，证毕．

证明：令点𝑃为复平面原点．则

公式：\begin{align*} &a\cdot PA^2+b\cdot PB^2+c\cdot PC^2\\ =&|(B-C)A^3|+|(C-A)B^3|+|(A-B)C^3|\\ \geq&|(B-C)A^3+(C-A)B^3+(A-B)C^3|\\ =&|(A+B+C)(A-B)(B-C)(C-A)|\\ =&3abc\cdot PG \end{align*}