利用Schur不等式的一个加强证明Iran96不等式

求最大的正实数𝑘，使得对任意𝑎，𝑏，𝑐≥0，都有

公式：\sum a(a-b)(a-c)\geq k\dfrac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}.

证明： 令𝑐=0得：

公式：a^2(a-b)+b^2(b-a)\geq k\dfrac{a^2b^2(a-b)^2}{ab(a+b)}

即

下证：𝑘=4时，不等式成立．

不妨设𝑎≥𝑏≥𝑐，则

公式：\begin{align*} &\sum a(a-b)(a-c)\\ =&(a+b-c)(a-b)^2+c(a-c)(b-c)\\ \geq&(a+b-c)(a-b)^2 \end{align*}

而

公式：\begin{align*} &\dfrac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\\ \leq&\dfrac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{ab(a+b)}\\ \leq&\dfrac{(a-b)^2(a-c)(b-c)}{a+b}\\ \leq&\dfrac{(a-b)^2a(b-c)}{a+b} \end{align*}

故只需证：

公式：\begin{align*} &(a + b - c)(a - b)^2 \geq \dfrac {4a(b - c)(a - b)^2}{a + b}\\ \iff&a+b-c\geq\dfrac{4a(b-c)}{a+b}\\ \iff&(a+b)^2-c(a+b)\geq 4ab-4ac\\ \iff&(a-b)^2+c(3a-b)\geq 0 \end{align*}

显然成立．

下面用此不等式来证明Iran96不等式．

只需取𝑘=(1)/(4)，并"注意到"恒等式：

公式：\begin{align*} \sum a(a - b)(a - c) - \frac14\frac {(a - b)^2(a - c)^2(b - c)^2}{(a + b)(a + c)(b + c)}\\ =(ab + ac + bc)\sum \frac {(a + b)(a + c)}{b + c} - \frac94 (a + b)(a + c)(b + c) \end{align*}