一道一试函数值域问题的不同解法

答案： [1,(3)/(2))∪[2,+∞)

方法一：

𝑦=𝑥+√(𝑥^(2)−3𝑥+2)

⇒√(𝑥^(2)−3𝑥+2)=𝑦−𝑥≥0

两边平方得(2𝑦−3)𝑥=𝑦^(2)−2．

从而，𝑦≠(3)/(2)且𝑥=(𝑦^(2)−2)/(2𝑦−3)．

由𝑦−𝑥=𝑦−(𝑦^(2)−2)/(2𝑦−3)≥0

⇒(𝑦^(2)−3𝑦+2)/(2𝑦−3)≥0

⇒1≤𝑦<(3)/(2)或𝑦≥2．

任取𝑦≥2，令𝑥=(𝑦^(2)−2)/(2𝑦−3)，易知𝑥≥2．

于是𝑥^(2)−3𝑥+2≥0且𝑦=𝑥+√(𝑥^(2)−3𝑥+2)．

任取1≤𝑦<(3)/(2)，令同样𝑥=(𝑦^(2)−2)/(2𝑦−3)，易知𝑥≤1．

于是𝑥^(2)−3𝑥+2≥0且𝑦=𝑥+√(𝑥^(2)−3𝑥+2)．

因此，所求函数的值域为[1,(3)/(2))∪[2,+∞)．

注：

本方法为参考答案上所给的方法．有一定局限性，如将函数改为𝑦=2𝑥+√(𝑥^(2)−3𝑥+2)，则不再适用．

方法二：

由𝑥^(2)−3𝑥+2≥0，得𝑥≤1或𝑥≥2．

又𝑥^(2)−3𝑥+2=(𝑥−(3)/(2))^(2)−(1)/(4)，

设𝑥−(3)/(2)=(1)/(2)sec𝜃，𝜃∈[0,(𝜋)/(2))∪((𝜋)/(2),𝜋)．

则𝑦=(3)/(2)+(1)/(2)sec𝜃+(1)/(2)|tan𝜃|．

当𝜃∈[0,(𝜋)/(2))时，

公式：\begin{align*} y=&\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\sec\theta+\dfrac{1}{2}\tan\theta\\ =&\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\\ =&\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\tan\left(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right) \end{align*}

又(𝜃)/(2)+(𝜋)/(4)∈[(𝜋)/(4),(𝜋)/(2))，

则tan((𝜃)/(2)+(𝜋)/(4))∈[1,+∞)，

𝑦∈[2,+∞)．

类似地，当𝜃∈((𝜋)/(2),𝜋]时，𝑦∈[1,(3)/(2))．

因此，所求函数的值域为[1,(3)/(2))∪[2,+∞)．

注：

形如√(𝑥^(2)−𝑎^(2))（|𝑥|≥𝑎)等代数式中的𝑥可以运用正（余）割代换．

方法三：

公式：f'(x)=1+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x-3}{\sqrt{x^2-3x+2}}

令𝑓^(′)(𝑥)>0得，𝑥>2；令𝑓^(′)(𝑥)<0得，𝑥<1．因此𝑓(𝑥)在(−∞,1)递减，在(2,+∞)递增．

又lim_(𝑥→−∞)𝑓(𝑥)=(3)/(2)，𝑓(1)=1，𝑓(2)=𝑥，lim_(𝑥→+∞)𝑓(𝑥)=+∞．

因此，所求函数的值域为[1,(3)/(2))∪[2,+∞)．

注：

本方法比较直接，函数单调性也容易求出．唯一难点在𝑥→−∞时，𝑓(𝑥)的极限，求法如下：

公式：\begin{align*} \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=&\lim\limits_{x\to -\infty}(x+\sqrt{x^2-3x+2})\\ =&\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{3x-2}{x-\sqrt{x^2-3x+2}}\\ =&\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{3-\dfrac{2}{x}}{1+\sqrt{1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}}}\\ =&\dfrac{3}{2} \end{align*}

方法四：

由𝑥^(2)−3𝑥+2=(𝑥−(3)/(2))^(2)−(1)/(4)，

作代换：√(𝑥^(2)−3𝑥+2)=∣𝑥−(3)/(2)∣−𝑡，其中𝑡在𝑥≥2和𝑥≤1时能分别取遍(0,(1)/(2)]．

则

公式：\begin{align*} &\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\\ =&\left(\left|x-\dfrac{3}{2}\right|-t\right)^2\\ =&\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-2t\left|x-\dfrac{3}{2}\right|+t^2 \end{align*}

即

于是

公式：\begin{align*} y=&x+\left|x-\dfrac{3}{2}\right|-t\\ =&\left(x-\dfrac{3}{2}\right)+\left|x-\dfrac{3}{2}\right|-t+\dfrac{3}{2} \end{align*}

(1)𝑥≤1时，𝑦=−𝑡+(3)/(2)∈[1,(3)/(2))．

(2)𝑥≥2时，

公式：\begin{align*} y=&2\left|x-\dfrac{3}{2}\right|-t+\dfrac{3}{2}\\ =&\dfrac{4t^2+1}{4t}-t+\dfrac{3}{2}\\ =&\dfrac{1}{4t}+\dfrac{3}{2}\\ \in&[2,+\infty) \end{align*}

注：

这种换元能够通过引入𝑡，直接去掉根号，使得计算量大大降低．