2023年上海市高三数学竞赛试题解答

答案： [(𝜋)/(4),1)

答案： (21)/(4)

答案： (36𝜋)/(5)

答案： 5

答案： 16，(3)/(2)

答案： 公式：\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4}\right)\bigcup\left(\dfrac{3\pi}{4},\pi-\arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)

答案： (1)/(√(2√(𝑘)))

答案： 13056

证明：

联立⎧⎩⎨⎪⎪𝑦^(2)=2𝑝𝑥;𝑦=−(1)/(𝑥);，得𝑅(√((1)/(2𝑝),3),−√(2𝑝,3))．

设𝑆(𝑥_(1),𝑦_(1))，𝑇(𝑥_(2),𝑦_(2))，则熟知抛物线在𝑆处的切线方程为

双曲线在𝑇处的切线方程为

上面两个方程表示同一条直线，于是

公式：\begin{cases} \dfrac{p}{y_1}=\dfrac{1}{x_2^2}\\ \dfrac{px_1}{y_1}=y_2-\dfrac{1}{x_2} \end{cases}

结合𝑦21=2𝑝𝑥_(1)，𝑦_(2)=−(1)/(𝑥_(2))可解得

公式：S\left(2\sqrt[3]{\dfrac{4}{p}},2\sqrt[3]{2p}\right),T\left(-\sqrt[3]{\dfrac{4}{p}},\sqrt[3]{\dfrac{p}{4}}\right)

设𝑎=√((4)/(𝑝),3)，𝑏=√((𝑝)/(4),3)，则𝑎𝑏=1， 𝑅((1)/(2)𝑎,−2𝑏)，𝑆(2𝑎,4𝑏)，𝑇(−𝑎,𝑏)．

注意到𝑆𝑇中点𝑀((1)/(2)𝑎,(5)/(2)𝑏)，有𝑅𝑀平行于𝑦轴．

于是

公式：\begin{aligned} S_{\triangle RST}=&\dfrac{1}{2}MR\cdot|x_S-x_T|\\ =&\dfrac{1}{2}\cdot\left|\dfrac{9}{2}b\right|\cdot|3a|\\ =&\dfrac{27}{4} \end{aligned}

因此，△𝑅𝑆𝑇的面积为定值(27)/(4)．

解答：

任意一个不含元素1的子集𝐴，与集合𝐴∪{1}一一对应，且𝐴与𝐴∪{1}的元素和差1，故一奇一偶．

因此𝛼_(𝐴)+𝛼_(𝐴∪{1})=0，于是公式：\sum\limits_{A\subset M}\alpha=\sum\limits_{1\not\in A\subset M}(\alpha_A+\alpha_{A\cup\{1\}})=0．

解答：

考虑更一般的情况，对△𝐴𝐵𝐶，设其三边长依次为𝑎、𝑏、𝑐，面积为𝑆．则△𝐴𝐵𝐶的内接正三角形△𝑃𝑄𝑅的最小面积为

设∠𝐵𝑅𝑃=𝜃，则∠𝑃𝑄𝐶=∠𝐴+60^(∘)−𝜃．再设△𝑃𝑄𝑅的边长为𝑥，在△𝐵𝑅𝑃和△𝑃𝑄𝐶中，由正弦定理得：𝐵𝑃=(sin⁡𝜃)/(sin⁡𝐵)𝑥，𝑃𝐶=(sin⁡(∠𝐴+60^(∘)−𝜃))/(sin⁡𝐶)𝑥．

又因为𝐵𝑃+𝑃𝐶=𝐵𝐶=𝑎，故

公式：\begin{aligned} x=&\dfrac{a}{\dfrac{\sin\theta}{\sin B}+\dfrac{\sin(\angle A+60^{\circ}-\theta)}{\sin C}}\\ =&\dfrac{a}{\sin\theta\left(\dfrac{1}{\sin B}-\dfrac{\cos(\angle A+60^{\circ})}{\sin C}\right)+\cos\theta\cdot\dfrac{\sin(\angle A+60^{\circ})}{\sin C}}\\ \ge&\dfrac{a}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sin B}-\dfrac{\cos(\angle A+60^{\circ})}{\sin C}\right)^2+\left(\dfrac{\sin(\angle A+60^{\circ})}{\sin C}\right)^2}}\\ =&\dfrac{a\sin B\sin C}{\sqrt{\sin^2B+\sin^2C+\sin B\sin C(\sqrt{3}\sin A-\cos A)}} \end{aligned}

将sin⁡𝐴=(2𝑆)/(𝑏𝑐)，sin⁡𝐵=(2𝑆)/(𝑐𝑎)，sin⁡𝐶=(2𝑆)/(𝑎𝑏)，cos⁡𝐴=(𝑏^(2)+𝑐^(2)−𝑎^(2))/(2𝑏𝑐)代入上式，得：

当公式：\tan\theta=\dfrac{\sin C-\sin B\cos(\angle A+60^{\circ})}{\sin B\sin(\angle A+60^{\circ})}时，等号成立．

于是正△𝑃𝑄𝑅的面积的最小值为

公式：\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2=\dfrac{S^2}{\dfrac{\sqrt{3}}{6}(a^2+b^2+c^2)+2S}

回到原题，将𝑐^(2)=𝑎^(2)+𝑏^(2)，𝑆=(1)/(2)𝑎𝑏代入得，本题答案为

解答：

首先由2≤𝑟≤𝑡−2可明确𝑖=2，𝑡−1，𝑡时的情况：

公式：\begin{cases} (-1)^2(c_2-d_2)>0\\ (-1)^{t-1}(c_{t-1}-d_{t-1})< 0\\ (-1)^t(c_t-d_t)< 0 \end{cases}

注意到𝑐_(2)𝑐_(𝑡−1)=𝑐_(𝑡)，𝑑_(2)𝑑_(𝑡−1)=𝑑_(𝑡)．

若𝑡为偶数，则𝑐_(2)>𝑑_(2)，𝑐_(𝑡−1)>𝑑_(𝑡−1)，𝑐_(𝑡)<𝑑_(𝑡)，矛盾．于是𝑡为奇数．

若𝑡为素数，由约数个数公式知𝑚=𝑝^(𝑡−1)，𝑛=𝑞^(𝑡−1)，𝑝、𝑞均为素数．此时𝑐_(𝑖)−𝑑_(𝑖)=𝑝^(𝑖−1)−𝑞^(𝑖−1)的正负恒定，矛盾．

于是𝑡为奇合数，故𝑡≥9．

下面给出构造：

取𝑚=7^(2)×13^(2)，𝑛=5^(2)×17^(2)，则𝑐_(𝑖)，𝑑_(𝑖)分别为

公式：1,7,13,49,91,169,637,1183,8281

公式：1,5,17,25,85,289,425,1445,7225

此时𝑐_(2)>𝑑_(2)，𝑐_(3)<𝑑_(3)，𝑐_(4)>𝑑_(4)，𝑟=4，𝑐_(5)>𝑑_(5)，𝑐_(6)<𝑑_(6)，𝑐_(7)>𝑑_(7)，𝑐_(8)<𝑑_(8)，𝑐_(9)>𝑑_(9)．

注：

本题的构造是难点，我总共花了接近半小时才完全做出来。

𝑚和𝑛都为𝑝^(2)𝑞^(2)形式的数，主要是选择恰当大小的素数，使得𝑐_(𝑖)和𝑑_(𝑖)的大小关系除了第𝑟个外，始终在发生改变．

思路还是用𝑖=2、8、9这三个位置的大小关系来估计素数之比的范围．读者可以自己尝试一下．