2023年韩国数学奥林匹克决赛

第一天

1. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵<𝐴𝐶，点𝐷和点𝐸分别在线段𝐴𝐵和𝐴𝐶上（异于端点）．点𝑃满足𝑃𝐵=𝑃𝐷，𝑃𝐶=𝑃𝐸．点𝑋在△𝐴𝐵𝐶外接圆的不含点𝐵的弧𝐴𝐶上（异于𝐴、𝐶）．设直线𝑋𝐴和△𝐴𝐷𝐸的外接圆另一个交点为𝑌．求证：𝑃𝑋=𝑃𝑌．

2. 函数𝑓：ℝ^(+)→ℝ^(+)满足对任意正实数𝑥，存在正实数𝑦，使得

   (𝑥+𝑓(𝑦))(𝑦+𝑓(𝑥))≤4

   且符合要求的𝑦的个数是有限的．求证：对任意正实数𝑥<𝑦，都有𝑓(𝑥)>𝑓(𝑦)．

3. 𝑝为奇素数，设𝐴(𝑛)为集合{1,2,⋯,𝑛}的全体元素之和为𝑝的倍数的子集个数．求证：若2^(𝑝−1)-1不为𝑝^(2)的倍数，则对任意整数𝑘，存在无穷多个正整数𝑚，使得

   (𝐴(𝑚)−𝑘)/(𝑝)∈ℤ.

第二天

4. 求所有正整数𝑛，使得2^(𝑛)−1没有大于7的素因子．

5. 给定正整数𝑛，和𝑛个盒子𝐵_(1)，⋯，𝐵_(𝑛)．按照下述规则在盒子中放入小球：选择两个正整数1≤𝑗≤𝑖≤𝑛，在满足𝑗≤𝑘≤𝑖的每个盒子𝐵_(𝑘)中各放入一个小球．
   设开始时每个盒子中的小球数依次为𝑥_(1)，⋯，𝑥_(𝑛)，𝑥_(𝑖)均为正整数．设将每个盒子中的小球数量均变为3的倍数所需要的最小操作次数为𝑓(𝑥_(1),⋯,𝑥_(𝑛))．对所有不同的初始状态，求𝑓(𝑥_(1),⋯,𝑥_(𝑛))的最大值．
   （若𝑥_(1)，⋯，𝑥_(𝑛)均为3的倍数，则𝑓(𝑥_(1),⋯,𝑥_(𝑛))=0．）

6. 对正整数𝑛≥3和实数𝑎_(1)，⋯，𝑎_(𝑛)，𝑏_(1)，⋯，𝑏_(𝑛)，求证：

   公式：\sum_{i=1}^n a_i(b_i-b_{i+3})\leq\frac{3n}{8}\sum_{i=1}^n((a_i-a_{i+1})^2+(b_i-b_{i+1})^2)

   其中𝑎_(𝑛+1)=𝑎_(1)，对𝑖=1,2,3，𝑏_(𝑛+𝑖)=𝑏_(𝑖)．