2023年日本初中数学奥林匹克（决赛）

在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵<𝐵𝐶，𝐴𝐶<𝐵𝐶，Γ为其外接圆．设Γ_(1)和Γ_(2)分别为以𝐵、𝐶为圆心，且过点𝐴的圆．设Γ_(1)和Γ_(2)、Γ_(1)和Γ、Γ_(2)和Γ分别交于点𝐷、𝐸、𝐹（均异于点𝐴）．求证：△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹相似．

黑板上写有2023个不同的正实数，从这些数字中选择两个不同的数字𝑥和𝑦，并计算(𝑥𝑦)/((𝑥+𝑦)^(2))的值．若一共有𝑘个不同的取值，求𝑘的最小值．

设𝑛为正整数．起初，𝐴将从1到𝑛^(2)的所有正整数不重复地填入𝑛×𝑛的网格的每一个方格中．接下来，𝐵选择了一些没有公共边的方格，将这些方格中的所有整数相加，结果即为𝐵的得分．求最大的正整数𝑀，使得不论𝐴如何填入数字，𝐵总能使自己的得分不小于𝑀．

求所有的正有理数组(𝑎,𝑏,𝑐)，使得𝑎+(𝑐)/(𝑏)，𝑏+(𝑎)/(𝑐)，𝑐+(𝑏)/(𝑎)均为整数．

在△𝐴𝐵𝐶中，设Γ为其外接圆，𝑀为边𝐴𝐶的中点．过𝑀的一条直线与𝐵𝐶和𝐴𝐵分别交于点𝑃和点𝑄，且𝑃、𝐵、𝐶三点顺次排列，𝑃和𝐵不重合．设𝑁为线段𝑃𝑄的中点，直线𝐴𝑁和Γ相交于点𝑅（异于𝐴、𝑁）．求证：△𝑃𝑅𝑁的外接圆与直线𝐵𝐶相切．