2023年泰国在线数学奥林匹克

第一天

1. 设𝑛为正整数，高师傅有𝑛种不同口味的冰激凌，每种口味有一个大杯装和一个小杯装．他把2𝑛个冰激凌杯摆成两行，每行的𝑛个冰激淋杯在同一个托盘上．高师傅希望托盘是彩色的，所以他对冰激凌杯作出如下安排：

• 每行包含所有口味的冰激凌；
• 每列有大小不同的冰激凌杯．
  在上述条件下，求高师傅的排法总数．

2. 设𝑃(𝑥)为实系数多项式．求证𝑥^(3)𝑃(𝑥)+1的根不全为实数．

3. 设𝑎和𝑛为正整数，且满足𝑎和𝑛!的最大公约数为1．求证：𝑛!整除𝑎^(𝑛!)−1．

4. 在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷和𝐷_(1)均在线段𝐵𝐶上，且满足𝐵𝐷=𝐶𝐷_(1)．作点𝐸使得𝐸𝐶⊥𝐵𝐶，𝐸𝐷⊥𝐴𝐶．作点𝐹使得𝐹𝐵⊥𝐵𝐶，𝐹𝐷⊥𝐴𝐵．求证：𝐸𝐹⊥𝐴𝐷_(1)．

5. 对每个正整数𝑘，设𝑑(𝑘)为𝑘的正约数个数，𝜎(𝑘)为𝑘的所有正约数之和．求所有函数𝑓：ℕ_(+)→ℕ_(+)，使得对任意正整数𝑛，都有

第二天

6. 在△𝐴𝐵𝐶中，作点𝑋使𝐵𝑋=𝐵𝐴，且𝑋和𝐶位于直线𝐴𝐵的同侧．作点𝑌使𝐶𝑌=𝐶𝐴，且𝑌和𝐵位于直线𝐴𝐶的异侧．若△𝐵𝐴𝑋和△𝐶𝐴𝑌相似，证明：△𝐴𝑋𝑌的圆心位于△𝐴𝐵𝐶的外接圆上．

7. 设正实数列𝑎_(0)，𝑎_(1)，⋯满足对任意𝑛≥0，都有

   公式：a_{n+1}\le\dfrac{2023a_n}{a_na_{n+1}+2023},

   求证：𝑎_(2023)<1或𝑎_(2024)<1．

8. 在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵<𝐴𝐶．设点𝑀为𝐵𝐶的中点，点𝐸为点𝐵在𝐴𝐶上的垂足．点𝐶^(′)为点𝐶关于直线𝐴𝑀的对称点．𝐵𝐶上异于点𝐶的一点𝐷满足𝐴𝐷=𝐴𝐶．求证：点𝐵为△𝐷𝐸𝐶^(′)的内心．

9. 求所有正整数列𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，使得对任意正整数𝑛，都有

10. 设𝑛为正偶数，Alice和Bob进行以下游戏．在游戏开始前，Alice选取一个由𝑚个整数组成的集合𝑆，并将它告诉Bob．然后从Bob开始，两人轮流进行操作，选择一个未被选择过的𝑖∈{1,2,⋯,𝑛}，然后将𝑣_(𝑖)赋值为0或1．当𝑣_(1)，𝑣_(2)，⋯，𝑣_(𝑛)的值均被确定下来时，游戏结束，计算出 𝐸=𝑣_(1)⋅2^(0)+𝑣_(2)⋅2^(1)+⋯+𝑣_(𝑛)⋅2^(𝑛−1)的值．
    求𝑚的最小值，使得无论Bob如何操作，Alice总能保证𝐸∈𝑆．