2023年希腊数学奥林匹克

初中组

1. 求所有满足以下方程组的三元实数组(𝑎,𝑏,𝑐)：

公式：\begin{cases} a+b+c=0\\ ab^3+bc^3+ca^3=0 \end{cases}

2. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑀、𝑁分别为𝐴𝐵、𝐴𝐶的中点．线段𝐵𝑁上两点𝐷、𝐸满足𝐶𝐷//𝑀𝐸，𝐵𝐷<𝐵𝐸．求证：𝐵𝐷=2⋅𝐸𝑁．

3. 求满足以下性质的矩形个数：
   (1)在平面直角坐标系下，每个顶点的坐标(𝑥,𝑦)满足𝑥、𝑦为非负整数，且𝑥≤8，𝑦≤8；
   (2)每条边均与坐标轴平行；
   (3)设面积为𝐸，则30≤𝐸≤40．

4. 求所有正整数𝑎、𝑏，其中𝑎>1，使得𝑏是𝑎−1的约数，2𝑎+1是5𝑏−3的约数．

高中组

1. 求所有满足以下方程组的四元正实数组(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)：

公式：\begin{cases} \dfrac{xyz+1}{x+1}=\dfrac{yzw+1}{y+1}=\dfrac{zwx+1}{z+1}=\dfrac{wxy+1}{w+1}\\ x+y+z+w=48 \end{cases}

2. 给定△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵>𝐴𝐶，∠𝐴的角平分线和𝐵𝐶交于点𝐷，点𝐼为△𝐴𝐵𝐶的内心．点𝑀为线段𝐴𝐷的中点，𝑀𝐵和△𝐵𝐼𝐶外接圆的另一个交点为点𝐹．求证：𝐴𝐹⊥𝐹𝐶．

3. 求所有在十进制下恰由𝑛个数码2和一个数码5组成的完全平方数𝑁，其中𝑛为正整数．

4. 一个班上有26名学生，每张桌子上都坐着两名学生．突然，学生们决定换位置，使得所有原来同桌的两人均被分开．求最大的正整数𝑁，使得无论学生如何选择座位，最后总存在一个由𝑁名学生组成的集合𝑆，其中的任意两名学生从未当过同桌．