赛题翻译
系列：希腊数学奥林匹克
2024年希腊数学奥林匹克
公众号原标题：2024年希腊数学奥林匹克——中文翻译（显示标题做过精简）
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2024年希腊数学奥林匹克
程国根 译
1. 设$a,b,c$为实数，满足其中两数之差大于$\frac{1}{2\sqrt{2}}$．求证：存在整数$x$，使得$$x^2-4(a+b+c)x+12(ab+bc+ca)<0.$$
2. 在$\triangle ABC$中，$AB<AC<BC$，外接圆为$\Gamma_{1}$．圆$\Gamma_{2}$的圆心$D$在$\Gamma_{1}$的圆周上，且和$BC$相切于点$E$，和$AB$相切于点$F$．设$\Gamma_{1}$和$\Gamma_{2}$交于$K,G$两点，$KG$和$EF,CD$分别交于点$M,N$．求证：$B,C,N,M$四点共圆．
3. 设正整数$n\ge 2$，$A,B$为两个有限整数集，$|A|\le n$．$C$为集合$\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$的一个子集．阿喀琉斯在一块黑板上写下满足$(a,b)\in C$的所有不同的差$a-b$，设这些差一共有$d$个．他在另一块黑板上写下满足$(k,l),(k,m)\in C$的所有的三元数组$(k,l,m)$，一共有$p$个．求证：$np\ge d^{2}$．
4. 求证：存在整数$n\ge 1$，使得方程$$\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{n}$$的正整数解$(a,b)$的组数超过$2024$．
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\section*{2024年希腊数学奥林匹克}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\ex 设$a,b,c$为实数，满足其中两数之差大于$\frac{1}{2\sqrt{2}}$．求证：存在整数$x$，使得$$x^2-4(a+b+c)x+12(ab+bc+ca)<0.$$\vfill\ex 在$\triangle ABC$中，$AB<AC<BC$，外接圆为$\Gamma_{1}$．圆$\Gamma_{2}$的圆心$D$在$\Gamma_{1}$的圆周上，且和$BC$相切于点$E$，和$AB$相切于点$F$．设$\Gamma_{1}$和$\Gamma_{2}$交于$K,G$两点，$KG$和$EF,CD$分别交于点$M,N$．求证：$B,C,N,M$四点共圆．\vfill\ex 设正整数$n\ge 2$，$A,B$为两个有限整数集，$|A|\le n$．$C$为集合$\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$的一个子集．阿喀琉斯在一块黑板上写下满足$(a,b)\in C$的所有不同的差$a-b$，设这些差一共有$d$个．他在另一块黑板上写下满足$(k,l),(k,m)\in C$的所有的三元数组$(k,l,m)$，一共有$p$个．求证：$np\ge d^{2}$．\vfill\ex 求证：存在整数$n\ge 1$，使得方程$$\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{n}$$的正整数解$(a,b)$的组数超过$2024$．\vfill
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