当斐波那契数列遇到切比雪夫多项式

分析：

即然两者都有非常明显的递推关系，很容易想到用数学归纳法进行证明．

证明：

（1）n=0和n=1时，容易验证结论成立．

（2）假设n≤k时，结论成立．那么n=k+1时，要证

公式：T_{k+1}\left(-\frac{3}{2}\right)=1+(-1)^{k+1}\cdot\frac{5}{2}F_{k+1}^2,

而由公式：T_{k+1}\left(-\frac{3}{2}\right)=-3T_k\left(-\frac{3}{2}\right)-T_{k-1}\left(-\frac{3}{2}\right)，只需证明：

公式：\begin{aligned} &1+(-1)^{k+1}\cdot\frac{5}{2}F_{k+1}^2\\ =&-3\left(1+(-1)^k\cdot\frac{5}{2}F_k^2\right)\\ &-\left(1+(-1)^{k-1}\cdot\frac{5}{2}F_{k-1}^2\right) \end{aligned}

即证：

公式：F_{k+1}^2-3F_k^2+F_{k-1}^2=2\cdot(-1)^k.

由通项公式：F_(n)=(1)/(√(5))(α^(n)−β^(n))，其中α=(1+√(5))/(2)，β=(1−√(5))/(2)，易证：对任意n∈N_(+)，都有

于是

公式：\begin{aligned} &F_{k+1}^2-3F_k^2+F_{k-1}^2\\ =&F_{k+1}^2-2F_k^2-(F_k^2-F_{k-1}^2)\\ =&F_{k+1}^2-2F_k^2-(F_k-F_{k-1})(F_k+F_{k-1})\\ =&F_{k+1}^2-2F_k^2-F_{k+1}(F_k-F_{k-1})\\ =&F_{k+1}(F_{k+1}-F_k+F_{k-1})-2F_k^2\\ =&2(F_{k+1}F_{k-1}-F_k^2)\\ =&2\cdot(-1)^n \end{aligned}

因此n=k+1时，结论也成立．

由数学归纳法知，本题结论成立．