一个取球次数数学期望的简单求法

吴其建老师问了我这样一个问题：

一个袋子中有m（m≥3）个除颜色外其余无差别的小球，其中有3个红球，从中不放回地取出小球直到取出第二个红球为止，记X为取出的小球个数，求E(X)．

直接求X的分布列并计算期望是可行的，但是较为复杂．

这里给出一个简单的求法：

本题等价于

将m个白球排成一列，并依次编号为1,2,⋯,m，再将其中3个染成红色，设第二个红球的编号为X，求E(X)．

注意到，如果将球的编号反过来，即1,2,⋯,m变为m,m−1,⋯,1，那么X变为m+1−X．

但红球共有3个，从左数的第二个红球与从右数的第二个红球是同一个，因此改变编号后，第二个红球编号的数学期望是不变的，即

公式：\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(m+1-X)=m+1-\mathbb{E}(X)

也即E(X)=(m+1)/(2)．

注：

可以将本题一般化，得到E(X)的递推公式后再求通项：

一个袋子中有m+n个除颜色外其余无差别的小球，其中有m个红球，n个蓝球．从中不放回地取出小球直到恰取出a个红球、b个蓝球为止，记X为取出的小球个数，求E(X)．

设E(X)=f(m,n,a,b)，对摸到的第一个球进行分类讨论，即可得：

公式：\begin{aligned} &f(m,n,a,b)\\ =&\frac{m}{m+n}f(m-1,n,\max\{a-1,0\},b)\\ +&\frac{n}{m+n}f(m,n-1,a,\max\{b-1,0\}) \end{aligned}

这个递推公式难以求出通项，但如果只要做出开始的题目，可取b=0，此时不难求得

感兴趣的读者不妨试一试．