2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式另证

高航老师在公众号上发了2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式的一个证明：

二次比一次结构巧解2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式题

事实上，龚固老师在几年前曾经发过本题的一个推广：

龚固——竞赛生每日一题（002）：一道新编不等式题

设n≥2，a_(k),b_(k)>0，记S=∑_(k=1)^(n)a_(k)b_(k)，求证：

公式：\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{S-a_kb_k}\ge\frac{4}{\sum_{k=1}^nb_k}.

这里写一个我的证明：

由

公式：\sqrt{\dfrac{x}{S-x}}\ge\frac{2x}{S}\iff x(S-2x)^2\ge 0

知

公式：\begin{aligned} &\left(\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{S-a_kb_k}\right)\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)\\ \ge&\left(\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{a_kb_k}{S-a_kb_k}}\right)^2\\ \ge&\left(\sum_{k=1}^n\frac{2a_kb_k}{S}\right)^2\\ =&4 \end{aligned}

证毕．