2024年印度EGMO代表队选拔考试不等式的解答

题目：

给定a_(1),a_(2),⋯,a_(10)是正实数，求∑_(i=1)^(10)⌊(7a_(i))/(a_(i)+a_(i+1))⌋的最小值，其中a_(11)=a_(1)．

（来源：2024印度EGMO代表队选拔考试 中文翻译）

考虑更一般的情况：

m,n为正整数，且n≥2，给定a_(1),a_(2),⋯,a_(n)是正实数，求∑_(i=1)^(n)⌊(ma_(i))/(a_(i)+a_(i+1))⌋的最小值，其中a_(n+1)=a_(1)．

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答案：

最小值为m−1，当a_(i)=m^(i)(1≤i≤n)时，

公式：\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n}\left\lfloor\dfrac{ma_i}{a_i+a_{i+1}}\right\rfloor\\ =&\sum_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\dfrac{m\cdot m^i}{m^i+m^{i+1}}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{m\cdot m^n}{m^n+m}\right\rfloor\\ =&m-1 \end{aligned}

证明：

不妨设a_(n)最大，则

公式：\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n}\left\lfloor\dfrac{ma_i}{a_i+a_{i+1}}\right\rfloor\\ \ge&\left\lfloor\dfrac{ma_1}{a_1+a_2}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{ma_n}{a_n+a_1}\right\rfloor\\ \ge&\left\lfloor\dfrac{ma_1}{a_1+a_n}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{ma_n}{a_n+a_1}\right\rfloor\\ \ge&\left\lfloor\dfrac{ma_1}{a_1+a_n}+\dfrac{ma_n}{a_n+a_1}\right\rfloor-1\\ =&m-1 \end{aligned}

最后一个不等号用到了⌊x⌋+⌊y⌋≥⌊x+y⌋−1．

注：

AoPS上还有一个解答用到了7和10两个数字的特殊性，可以将结论推广至m和n≥2m−4，大家可以自己试试．