用Binet-Cauchy公式证明一道不等式

Binet-Cauchy（比内-柯西）公式^[1]

现在我们用Binet-Cauchy公式证明一道不等式：

题目：

正整数n≥4，非零实数a_(1),a_(2),⋯,a_(n)满足(1)/(a_(1))+(1)/(a_(2))+⋯+(1)/(a_(n))=0．求证：

公式：\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i^2}\right)\left(\sum_{1\le i< j\le n}(a_i-a_j)^2\right)\ge n^3.

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证明：

考虑3×n矩阵

公式：A=\left(\begin{matrix} 1&1&\cdots&1\\ a_1&a_2&\cdots&a_n\\ \frac{1}{a_1}&\frac{1}{a_2}&\cdots&\frac{1}{a_n} \end{matrix}\right)

则

公式：\begin{aligned} AA^T=&\left(\begin{matrix}n&\sum\limits_{i=1}^na_i&\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i}\\ \sum\limits_{i=1}^na_i&\sum\limits_{i=1}^na_i^2&n\\ \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i}&n&\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i^2} \end{matrix}\right)\\ =&\left(\begin{matrix}n&\sum\limits_{i=1}^na_i&0\\ \sum\limits_{i=1}^na_i&\sum\limits_{i=1}^na_i^2&n\\ 0&n&\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i^2} \end{matrix}\right) \end{aligned}

于是

公式：\begin{aligned} &\det(AA^T)\\ =&n\left(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i^2}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^na_i\right)^2\left(\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i^2}\right)-n^3\\ =&\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i^2}\right)\left(\sum_{1\le i< j\le n}(a_i-a_j)^2\right)-n^3 \end{aligned}

于是只需证明：

det(AA^(T))≥0.

对任意1≤i<j<k≤n，记

公式：A_{i,j,k}=\left(\begin{matrix}1&1&1\\a_i&a_j&a_k\\\dfrac{1}{a_i}&\dfrac{1}{a_j}&\dfrac{1}{a_k}\end{matrix}\right)

由Binet-Cauchy公式：

公式：\begin{aligned} \det(AA^T)=&\sum_{1\le i< j< k\le n}\det A_{i,j,k}\det A_{i,j,k}^T\\ =&\left(\det A_{i,j,k}\right)^2\ge 0 \end{aligned}

证毕．

注：

本题从高等代数角度来看是非常平凡的，直接证明则稍复杂一些，读者可以尝试一下．

参考资料

[1]

来源: 蓝以中.高等代数简明教程.北京大学出版社.2007