解答一道较复杂的二元不等式

题目：

已知正实数a,b满足(1)/(a^(2))+(1)/(b^(2))=(1)/(2)．求

的最小值．

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答案：

当a=b=2时，取最小值(5)/(3)．

证明：

由Cauchy不等式：

(1)/(2)=(1)/(a^(2))+(1)/(b^(2))≥(4)/(a^(2)+b^(2))

即a^(2)+b^(2)≥8．

因此

公式：\begin{aligned} &\frac{b}{a+1}+\frac{a}{b+1}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab+a+b+1}\\ =&1+\frac{a^2+b^2-ab-1}{ab+a+b+1}\\ \ge&1+\frac{a^2+b^2-\frac{1}{2}(a^2+b^2)-\frac{1}{8}(a^2+b^2)}{ab+a+b+1}\\ =&1+\frac{3}{8}\cdot\frac{a^2+b^2}{ab+a+b+1} \end{aligned}

由

(1)/(a)+(1)/(b)≤√(2((1)/(a^(2))+(1)/(b^(2))))=1

知ab≥a+b，于是2a^(2)+2b^(2)=a^(2)b^(2)≥ab(a+b)

公式：\begin{aligned} &\dfrac{9}{2}(a^2+b^2)\\ =&2(a^2+b^2)+2(a^2+b^2)+\frac{1}{2}(a^2+b^2)\\ \ge&a^2b^2+ab(a+b)+ab\\ =&ab(ab+a+b+1) \end{aligned}

由a^(2)+b^(2)≥8知a^(2)+b^(2)+1≤(9)/(8)(a^(2)+b^(2))．

因此

公式：\begin{aligned} &\dfrac{b}{a+1}+\dfrac{a}{b+1}+\sqrt{\dfrac{1}{a^2+b^2+1}}\\ \ge&1+\frac{3}{8}\cdot\frac{a^2+b^2}{ab+a+b+1}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{\dfrac{1}{a^2+b^2}}\\ \ge&1+\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{9}ab+\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{\dfrac{1}{a^2+b^2}}\\ =&1+\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{a^2+b^2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{\dfrac{1}{a^2+b^2}}\\ \ge&1+2\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}}\\ =&\frac{5}{3} \end{aligned}