四省联考第16题分析

昨天的四省联考题目在网上引起了热议。引用韩涛老师在朋友圈发的一段话进行总结：

刚考完的高三四省联考，哀鸿遍野。主要是这是教育部考试中心直接命题，看来命题的确朝着我之前预测的方向进行。这套试卷最大的看点是第16题和最后的压轴题。组合极值问题第一次堂而皇之进入了这种级别的高考模拟卷中，而这在课本中是未曾体现的。最后一道大题很多学生读都读不懂。去年新高考其实就看出端倪是，今年必将更甚之。高考难度上和竞赛并驾齐驱是常态化。

最后一题的背景为椭圆曲线上的群结构，但只要理解了题目，难度并不算太大（在考场上是另一回事）。

而第16题考察的则是著名的熄灯问题（Lights out），这里做个简单分析（高考生即可读懂）。

首先要明确的一点是，本题中的开关和“灯”并不是一一对应的关系。每盏灯由3至5个开关控制，取决于灯的三种位置（角、边、中心）。

其次要知道，改变按动开关的先后顺序是不影响最后灯的状态的，因为只需要对每盏灯分别计更改状态的次数。

最后，灯的状态只与控制它的开关按动总次数的奇偶性有关（2次按动即恢复原状）。

于是，为了使按开关的总次数尽可能少，每个开关均只按动0或1次。

为方便书写，下面用𝑎、𝑏、𝑐、⋯、𝑖表示每个开关的按动次数（从左到右，从上到下）。

考察(1,1)处的灯，只有它最终改变了状态，于是控制它的开关总按动次数为奇数，在模2的意义下，我们有

类似地，有

注意到，本文式子中的等号表示的只是奇偶性相同．

下面我们来解这个方程组：

对于一般情况，比如将3×3表格改为𝑚×𝑛表格，或者最终不止(1,1)一个方格改变了状态，我们可以同样列出方程组，然后用高斯消元法解出每个未知数．

但本题中的0比较多，所以我们可以比较简单地解出方程组．

由(1)+(3)+(8)得：

由(1)+(6)+(7)得：

由(3)+(4)+(9)得：

由(2)+(7)+(9)得：

于是

代入(1)得𝑎=1；

代入(3)得𝑐=1；

代入(5)得𝑒=0；

代入(7)得𝑔=1；

代入(9)得𝑖=0．

将上述值代入(2)、(4)、(6)、(8)得𝑏=𝑑=0，𝑓=ℎ=1．

于是总按动次数至少为5，需要按动(1,1)、(1,3)、(2,3)、(3,1)、(3,2)这五个开关．

感兴趣的读者可以仿照上题做一下类似情况，也可以搜索Lights out小游戏．