用向量外积证明九省联考第18题中的面积结论

这次九省联考的第18题（2），可以转化面积后快速做出，核心在于证明三角形GMN面积为四边形ADBE面积的(1)/(4)．

这里用向量外积给出一个简洁且本质的证明．

首先简单回顾一下向量外积的定义和性质：

对向量a^(⃗)和b^(⃗)，定义它们的外积a^(⃗)×b^(⃗)如下：

• 大小：

公式：|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\sin<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>

（于是|a^(⃗)×b^(⃗)|可以表示由a^(⃗)和b^(⃗)所张成的平行四边形面积，也是它们所张成的三角形面积的2倍．）

• 方向：

a^(⃗)×b^(⃗)与a^(⃗)和b^(⃗)均垂直，且遵循右手定则．

（于是a^(⃗)×b^(⃗)和b^(⃗)×a^(⃗)大小相同，方向相反，为相反向量．）

• 分配律：

有了上面的基本知识，我们就可以进行证明了：

在四边形ADBE中，M,N分别为AB,DE的中点，G为BD和EA的交点，则S_(△GMN)=(1)/(4)S_(ADBE)．

证明：

公式：\begin{aligned} &S_{\triangle GMN}\\ =&\frac{1}{2}|\overrightarrow{GM}\times\overrightarrow{GN}|\\ =&\frac{1}{8}\left|(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})\times(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE})\right|\\ =&\frac{1}{8}\left|\overrightarrow{GA}\times \overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}\times\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GB}\times\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GB}\times\overrightarrow{GE}\right|\\ =&\frac{1}{8}\left|\overrightarrow{GA}\times \overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GB}\times\overrightarrow{GE}\right|\\ =&\frac{1}{8}\left||\overrightarrow{GB}\times \overrightarrow{GE}|-|\overrightarrow{GA}\times \overrightarrow{GD}|\right|\\ =&\frac{1}{4}\left|S_{\triangle GBE}-S_{\triangle GAD}\right|\\ =&\frac{1}{4}S_{ADBE} \end{aligned}