大湾区二模第11题解答之矩生成函数（MGF）

答案及解析

1. 选项A

已知M_(X)(t)=∑_(i=1)^(n)e^(tx_(i))p_(i)，对其求导可得M′X(t)=∑_(i=1)^(n)x_(i)e^(tx_(i))p_(i)． 当t=0时，M′X(0)=∑_(i=1)^(n)x_(i)p_(i)=E(X)，A选项正确．

1. 选项B

由定义，M_(X)(t)=∑_(i=1)^(2)e^(tx_(i))p_(i)，这里x_(1)=0，x_(2)=1，p_(1)=p_(2)=(1)/(2)，则M_(X)(t)=e^(t×0)×(1)/(2)+e^(t×1)×(1)/(2)=(1+e^(t))/(2)，并非(e^(t))/(2)，B选项错误．

1. 选项C

若X∼B(n,p)，则P(X=k)=Cknp^(k)(1−p)^(n−k)，0≤k≤n.

由定义M_(X)(t)=∑_(k=0)^(n)e^(tk)P(X=k)=∑_(k=0)^(n)e^(tk)Cknp^(k)(1−p)^(n−k).

由二项式定理(a+b)^(n)=∑_(k=0)^(n)Ckna^(k)b^(n−k)，这里a=e^(t)p，b=1−p，所以M_(X)(t)=(e^(t)p+1−p)^(n)，并非(e^(tp)+1−p)^(n)，C选项错误．

1. 选项D

D选项正确。

综上，答案是AD。