一试预赛 2026-05-18 含解答

2026年重庆市预赛复数不等式解答

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 138 字公式 20 处

各地预赛题目汇总，方便大家打印使用，答案网上都能找到，就不发了。

原题第(1)问有提示，这里直接做一般情况：

题目：给定正整数𝑛，复数𝑧_(1),𝑧_(2),⋯,𝑧_(𝑛)满足∑_(𝑘=1)^(𝑛)𝑧_(𝑘)=1，求∑_(𝑘=1)^(𝑛)(|𝑧_(𝑘)+i|−|𝑧_(𝑘)|)的最大值．

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答案：𝑛−2+√(2)

构造：𝑧_(1)=1，𝑧_(2)=⋯=𝑧_(𝑛)=0

证明：对𝑛归纳，𝑛=1时为等式．

假设结论对𝑛成立，则对𝑛+1，将𝑧_(𝑛)+𝑧_(𝑛+1)视为整体，有

∑_(𝑘=1)^(𝑛−1)(|𝑧_(𝑘)+i|−|𝑧_(𝑘)|)+|𝑧_(𝑛)+𝑧_(𝑛+1)+i|−|𝑧_(𝑛)+𝑧_(𝑛+1)|≤𝑛−2+√(2)

只需证明：

|𝑧_(𝑛)+i|−|𝑧_(𝑛)|+|𝑧_(𝑛+1)+i|−|𝑧_(𝑛+1)|≤|𝑧_(𝑛)+𝑧_(𝑛+1)+i|−|𝑧_(𝑛)+𝑧_(𝑛+1)|+1

更一般地，对复数𝑎,𝑏,𝑐，有Hlawka不等式：

|𝑎|+|𝑏|+|𝑐|+|𝑎+𝑏+𝑐|≥|𝑎+𝑏|+|𝑏+𝑐|+|𝑐+𝑎|

两边平方后，由恒等式（即为原题第(1)问）

|𝑎|^(2)+|𝑏|^(2)+|𝑐|^(2)+|𝑎+𝑏+𝑐|^(2)=|𝑎+𝑏|^(2)+|𝑏+𝑐|^(2)+|𝑐+𝑎|^(2)

和三角不等式

2|𝑎𝑏|+2|𝑐(𝑎+𝑏+𝑐)|≥2|(𝑏+𝑐)(𝑐+𝑎)|

2|𝑏𝑐|+2|𝑎(𝑎+𝑏+𝑐)|≥2|(𝑐+𝑎)(𝑎+𝑏)|

2|𝑐𝑎|+2|𝑏(𝑎+𝑏+𝑐)|≥2|(𝑎+𝑏)(𝑏+𝑐)|

四式相加即证．

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