一道预赛不等式题的初等解法

已知公式：f(x,y)=x^3+y^3+x^2y+xy^2-3(x^2+y^2+xy)+3(x+y)，且𝑥,𝑦≥(1)/(2)，求𝑓(𝑥,𝑦)的最小值．
（2011年河北省预赛）

这道预赛题的背景比较明显，乘上𝑥−𝑦后可以将等式右侧的𝑥和𝑦进行分离．于是在𝑥≠𝑦时，𝑓(𝑥,𝑦)可以看作某个函数的割线斜率，再由拉格朗日中值定理即可转为切线斜率．

这也是官方的解答，如下：

当𝑥≠𝑦时，题设函数两边同乘以𝑥−𝑦得

公式：\begin{align*} &(x-y)f(x,y)\\ =&(x^4-y^4)-3(x^3-y^3)+3(x^2-y^2) \end{align*}

令𝑔(𝑥)=𝑥^(4)−3𝑥^(3)+3𝑥^(2)．

则𝑓(𝑥,𝑦)=(𝑔(𝑥)−𝑔(𝑦))/(𝑥−𝑦)为𝑔(𝑥)图像上两点的斜率．

当𝑥=𝑦时，𝑓(𝑥,𝑦)=4𝑥^(3)−9𝑥^(2)+6𝑥．

于是，只需求𝑔(𝑥)在𝑥≥(1)/(2)上的导函数ℎ(𝑥)=4𝑥^(3)−9𝑥^(2)+6𝑥的最小值．

易求当𝑥≥(1)/(2)时，ℎ(𝑥)=4𝑥^(3)−9𝑥^(2)+6𝑥的最小值为1．

来源：《中等数学》2012年第7期

本方法最大的问题就在拉格朗日中值定理的使用。在高中范围内，我是非常反对直接使用这些高级定理解题的。

而今天，我又听到一个学生说，某老师讲这题用了偏导数，这就更加不可理解了。

这里写一个初等的解法．

首先猜测等号成立条件，由对称性可知𝑓(𝑥,𝑦)在𝑥=𝑦时取得极值．此时公式：f(x,y)=4x^3-9x^2+6x\triangleq g(x)，则公式：g'(x)=12x^2-18x+6=6(2x-1)(x-1)，于是𝑔(𝑥)在((1)/(2),1)递减，在(1,+∞)递增．所以猜测𝑓(𝑥,𝑦)在𝑥=𝑦=1时取得最小值．（这里可以多尝试几组(𝑥,𝑦)，确保结论准确）

根据猜测的取等条件进行恒等变形．

公式：\begin{align*} &f(x,y)-1\\ =&x^3+y^3+x^2y+xy^2-3(x^2+y^2+xy)+3(x+y)-1\\ =&\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-1)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)(y-1)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)(y-1)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)(x-1)^2+(x-1)(y-1)\\ =&(x+y-1)\left[(x-1)^2+(y-1)^2\right]+(x-1)(y-1)\\ \geq&(x+y-1)\cdot 2|(x-1)(y-1)|+(x-1)(y-1)\\ \end{align*}

若𝑥，𝑦同不大于1，或同不小于1，则

公式：(x+y-1)\cdot 2|(x-1)(y-1)|+(x-1)(y-1)\geq 0

即𝑓(𝑥,𝑦)≥1，在𝑥=𝑦=1时等号成立．

否则，不妨设(1)/(2)≤𝑥<1<𝑦，则𝑥+𝑦≥(1)/(2)+1=(3)/(2)，即2𝑥+2𝑦−3>0．

公式：\begin{align*} &(x+y-1)\cdot 2|(x-1)(y-1)|+(x-1)(y-1)\\ =&(1-x)(y-1)(2(x+y-1)-1)\\ =&(1-x)(y-1)(2x+2y-3)\\ >&0 \end{align*}

综上，𝑓(𝑥,𝑦)最小值为1．