2022年新疆预赛不等式的证明

分析

证明关键是将差的绝对值放缩为平方和．利用Cauchy不等式，有公式：|x_i-x_{i+1}|^2\leq 2(x_i^2+x_{i+1}^2)．但在求等号成立条件时发现要求数列正负交错，这与2023为奇数矛盾．因此联想到以下关于奇数项数列的一个小结论：

引理

给定𝑛∈ℕ^(+)为奇数，则𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)中存在相邻两个数相等或三个数成单调子列．

引理的证明

由公式：\prod\limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{i+1}\right)\left(x_{i+1}-x_{i+2}\right)=\prod\limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{i+1}\right)^2 \geq 0，知存在𝑖∈{1,2,⋯,𝑛}，使得(𝑥_(𝑖)−𝑥_(𝑖+1))(𝑥_(𝑖+1)−𝑥_(𝑖+2))≥0，因此结论成立．

回到原题

不妨设(𝑥_(1)−𝑥_(2))(𝑥_(2)−𝑥_(3))≥0，即𝑥_(1)−𝑥_(2)和𝑥_(2)−𝑥_(3)同号．则公式：|x_1-x_2|+|x_2-x_3|=|(x_1-x_2)+(x_2-x_3)|=|x_1-x_3|．
因此

公式：\begin{align*} &|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+\cdots+|x_{2023}-x_1|\\ =&|x_1-x_3|+|x_3-x_4|+\cdots+|x_{2023}-x_1|\\ \leq&\sqrt{2022((x_1-x_3)^2+(x_3-x_4)^2+\cdots+(x_{2023}-x_1)^2)}\\ \leq&\sqrt{2022\cdot 2(x_1^2+x_3^2+x_3^2+x_4^2+\cdots+x_{2023}^2+x_1^2)}\\ \leq&2\sqrt{2022(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{2023}^2)}\\ =&2\sqrt{2022} \end{align*}

在𝑥_(2)=0，公式：x_1=x_4=x_6=\cdots=x_{2022}=-x_3=-x_5=\cdots=-x_{2023}=\dfrac{1}{\sqrt{2022}}时，等号成立，因此最大值为2√(2022)．

两个类似问题

设𝑛≥3，𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)∈ℝ，证明：公式：\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}-\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}a_{i+1}\leq\left[\dfrac{n}{2}\right](M-m)^{2}，其中𝑀=max_(1≤𝑖≤𝑛)𝑎_(𝑖)，𝑚=min_(1≤𝑖≤𝑛)𝑎_(𝑖)．

给定𝑛≥4，设𝑥_(1),𝑥_(2),…,𝑥_(𝑛)∈[0,1]，求∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)|𝑥_(𝑖)−𝑥_(𝑖+1)|的最大值．

解答见n元不等式笔记（1）