2022年高联A2卷一试非官方解答

答案： 15

解析：

分成两部分：

sin2022𝑥的最小值为−1，在2022𝑥=−(𝜋)/(2)+2𝑘𝜋，𝑘∈ℤ时取等．

由几何意义，|𝑥−11|+|𝑥−27|的最小值为16，在11≤𝑥≤27时取等．

两个最小值能同时取得，故本题答案为−1+16=15．

答案： −(52)/(3)

解析：

将底数全换为2，解出log_(2)𝑎和log_(2)𝑏即可．

公式：\begin{cases} \log_2a+\dfrac{1}{2}\log_2b=8\\ \dfrac{1}{2}\log_2a+\dfrac{1}{3}\log_2b=2 \end{cases}

于是log_(2)𝑎=20，log_(2)𝑏=−24，公式：\log_8a+\log_2b=\dfrac{1}{3}\log_2a+\log_2b=\dfrac{20}{3}-24=-\dfrac{52}{3}．

答案： (4)/(3)

解析：

无穷等比数列求和公式：𝑆=(𝑎_(1))/(1−𝑞)，|𝑞|<1．

由题意知，{𝑎_(𝑛)}正负交错，故𝑞∈(−1,0)．

而各项和𝑆_(1)=1>0，故𝑎_(1)>0．

因此{𝑎_(𝑛)}奇数项为正，偶数项为负，各项绝对值组成一个公比为−𝑞的等比数列．

各项和𝑆_(1)=(𝑎_(1))/(1−𝑞)=1，即𝑎_(1)=1−𝑞．

各项的绝对值之和𝑆_(2)=(𝑎_(1))/(1+𝑞)=2，即𝑎_(1)=2+2𝑞．

解得𝑎_(1)=(4)/(3)．

答案： (−∞,−(3)/(4)]

解析：

公式：\begin{aligned} &\dfrac{a-\mathrm{i}}{t-\mathrm{i}}+\mathrm{i}\\ =&\dfrac{(a-\mathrm{i})(t+\mathrm{i})}{(t-\mathrm{i})(t+\mathrm{i})}+\mathrm{i}\\ =&\dfrac{(at+1)+(a-t)\mathrm{i}+(t^2+1)\mathrm{i}}{t^2+1}\in\mathbb{R} \end{aligned}

即存在𝑡∈ℝ，使得𝑡^(2)−𝑡+𝑎+1=0．

因此Δ=(−1)^(2)−4(𝑎+1)=−4𝑎−3≥0，即𝑎≤(3)/(4)．

答案： (27)/(13)

解析：

𝐹_(1)(−2,0)，𝐹_(2)(2,0)．设𝑃(𝑥_(1),𝑦_(1))，𝑄(𝑥_(2),𝑦_(2))．

则公式：\overrightarrow{F_1F_2}\cdot\overrightarrow{F_1P}=(4,0)\cdot(x_1+2,y_1)=4(x_1+2)=16

即𝑥_(1)=2，代入双曲线方程得𝑃(2,±3)．由对称性不妨设𝑃(2,3)，于是𝑙的方程为𝑦=(3)/(4)(𝑥+2)．

和3𝑥^(2)−𝑦^(2)=3联立得：3𝑥^(2)−(9)/(16)(𝑥+2)^(2)=3，即13𝑥^(2)−12𝑥−28=0，解得𝑥=2或𝑥=−(14)/(13)，于是𝑄(−(14)/(13),(9)/(13))．

于是公式：\overrightarrow{F_2P}\cdot\overrightarrow{F_2Q}=(x_1-2)(x_2-2)+y_1y_2=y_1y_2=\dfrac{27}{13}．

答案： (4)/(13)

解析：

容易找到Γ和正方体棱的另两个交点．

如图，设𝑀𝑁∩𝐴𝐴_(1)=𝑃，𝑀𝑁∩𝐴𝐵=𝑄，

𝐷𝑃∩𝐴_(1)𝐷_(1)=𝑅

，𝐷𝑄∩𝐵𝐶=𝑆．易知𝑅为𝐴_(1)𝐷_(1)靠近𝐴_(1)的三等分点，𝑆为𝐵𝐶靠近𝐵的三等分点．截面Γ为五边形𝐷𝑅𝑀𝑁𝑆．

设正方体边长为3𝑎，以𝐷为原点，如图所示建立空间直角坐标系．则𝐷𝑅^(→−)=(0,2𝑎,3𝑎)，𝐷𝑆^(→−)=(3𝑎,2𝑎,0)．

于是|𝐷𝑅^(→−)|=|𝐷𝑆^(→−)|=√(13)𝑎，𝐷𝑅^(→−)⋅𝐷𝑆^(→−)=4𝑎^(2)．

公式：\cos<\overrightarrow{DR},\overrightarrow{DS}>=\dfrac{4a^2}{\sqrt{13}a\cdot\sqrt{13}a}=\dfrac{4}{13}．

答案： (7)/(20)

解析：

考虑6和10这两个有不同素因子的数，易知不能同时选6和10．

(1)选6．则不能再选2的倍数和3的倍数，只剩下1,5,7．共有C23=3种选法．

(2)选10．则不能再选2的倍数和5的倍数，只剩下1,3,7,9，且3和9不能同时选．共有C24−1=5种选法．

(3)6和10都不选．将剩余的数划分为{1}，{2,4,8}，{3,9}，{5}，{7}这五个集合，从三个不同的集合各选出1个数，考虑𝑓(𝑥)=(1+𝑥)^(3)(1+2𝑥)(1+3𝑥)的三次项系数即可，共有34种选法．

于是𝑝=(3+5+34)/(C310)=(7)/(20)．

答案： 1或−(4)/(5)

解析：

𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)互为反函数，𝑓(𝑥)=𝑘+(𝑚)/(𝑥−𝑙)，故𝑔(𝑥)=𝑙+(𝑚)/(𝑥−𝑘)．𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)均为双射函数．分两种情况讨论：

(1)(1,4)∈𝐶_(1)，(2,4)∈𝐶_(2)，即(4,2)∈𝐶_(1)，于是(3,2)∉𝐶_(1)，故(3,2)∈𝐶_(2)，(2,3)∈𝐶_(1)．于是

公式：\begin{cases} (1-l)(4-k)=m\\ (4-l)(2-k)=m\\ (2-l)(3-k)=m \end{cases}

两两作差得：

{3𝑘=2𝑙+4;2𝑘=𝑙+2;

于是𝑘=0，𝑙=−2，𝑚=12．𝑓(𝑥)=(12)/(𝑥+2)．𝑓(𝑘+𝑙+𝑚)=(12)/(0−2+12+2)=1．

(2)和(1)中相反，注意到𝑙和𝑘的对称性，此时有𝑘=−2，𝑙=0，𝑚=12．𝑓(𝑥)=−2+(12)/(𝑥)．𝑓(𝑘+𝑙+𝑚)=−2+(12)/(−2+0+12)=−(4)/(5)．

解析：

设𝐴𝐵=𝑐，𝐵𝐶=𝑎，𝐶𝐴=𝑏，则𝐵𝐷=(1)/(2)𝑐，𝐶𝐷=(1)/(3)𝑏，因此𝑎=(1)/(3)𝑏+(1)/(2)𝑐．

由题意知：𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐴𝐶+𝐶𝐷，即(3)/(2)𝑐=(4)/(3)𝑏，即9𝑐=8𝑏．

设𝑐=8𝑘，则𝑏=9𝑘，𝑎=(1)/(3)𝑏+(1)/(2)𝑐=7𝑘．𝐵𝐷=4𝑘，𝐶𝐷=3𝑘．

椭圆的长轴长=𝐴𝐵+𝐵𝐷=(3)/(2)𝑐=12𝑘．

由斯特瓦尔特定理：

公式：\begin{aligned} AD^2&=AB^2\cdot\frac{CD}{BC}+AC^2\cdot\dfrac{BD}{BC}-BD\cdot CD\\ &=(8k)^2\cdot\frac{3k}{7k}+(9k)^2\cdot\frac{4k}{7k}-(3k)\cdot(4k)\\ &=\frac{432}{7}k^2 \end{aligned}

即焦距𝐴𝐷=(12√(21))/(7)𝑘．

因此离心率𝑒=((12√(21))/(7)𝑘)/(12𝑘)=(√(21))/(7)．

解析：

设𝑏_(𝑛)=𝑎_(𝑛)−𝑛，由题意知：

公式：a_{n+1}-(n+1)=(a_n-n)-(a_{n-1}-(n-1))，即𝑏_(𝑛+1)=𝑏_(𝑛)−𝑏_(𝑛−1)．

设𝑏_(1)=𝑝，𝑏_(2)=𝑞，则𝑏_(3)=𝑞−𝑝，𝑏_(4)=−𝑝，𝑏_(5)=−𝑞，𝑏_(6)=𝑝−𝑞，之后以6为周期循环出现．

于是公式：a_2a_{2022}=(b_2+2)(b_{2022}+2022)=(q+2)(p-q+2022)=1

由题意知，𝑏_(𝑛)+𝑛≥0对𝑛∈ℤ_(+)恒成立．只需考虑1≤𝑛≤6的情形．

有𝑝+1≥0，𝑞+2≥0，𝑞−𝑝+3≥0，−𝑝+4≥0，−𝑞+5≥0，𝑝−𝑞+6≥0，即

公式：\begin{cases} -1\le p\le 4\\ -2\le q\le 5\\ -3\le q-p\le 6 \end{cases}

由−3≤𝑞−𝑝≤6知2016≤𝑝−𝑞+2022≤2025，于是公式：q+2=\dfrac{1}{p-q+2022}\in\left[\dfrac{1}{2025},\dfrac{1}{2016}\right]．因此

公式：\begin{aligned} a_1&=p+1=\dfrac{1}{q+2}+q-2021\\ &=\dfrac{1}{q+2}+q+2-2023\\ &\le\dfrac{1}{\dfrac{1}{2025}}+\dfrac{1}{2025}-2023\\ &=\dfrac{4051}{2025} \end{aligned}

当且仅当𝑞+2=(1)/(2025)，𝑝−𝑞=3时，等号成立．

故𝑎_(1)的最大可能值为(4051)/(2025)．

11. 给定整数𝑛（𝑛≥2）．对于一个2𝑛元有序数组

    公式：T=(a_1,b_1,a_2,b_2,\cdots,a_n,b_n)，

    若𝑇的每个分量均为0或1，且对任意𝑝,𝑞（1≤𝑝<𝑞≤𝑛），均有(𝑎_(𝑝),𝑏_(𝑝),𝑏_(𝑞))≠(1,0,1)，且(𝑎_(𝑞),𝑏_(𝑞),𝑎_(𝑝))≠(1,0,0)，则称𝑇为“有趣数组”．求有趣数组的个数．

码到这题的时候看了眼群，发现官方答案出来了，和我的做法基本一样，但我写得太啰嗦了．就采用了官方答案的处理方法，把(1,0)、(0,1)、(1,1)、(0,0)视为四个字母𝐴、𝐵、𝐶、𝐷．这里贴一下官方答案：