加拿大CRUX杂志问题4781-4790

4781. 设C为所有互质的正整数对组成的集合．设
      公式：d(m,n)=\gcd\{2m(m+n),n(10m+n),n^2+10m^2+2mn\} 求{𝑑(𝑚,𝑛)∣(𝑚,𝑛)∈C}．

4782. 设𝐴为所有满足1≤𝑛≤2022，且gcd(𝑛,2022)=1的整数𝑛组成的集合．对任意非负整数𝑗，设𝑆(𝑗)=∑_(𝑛∈𝐴)𝑛^(𝑗)．求证：

公式：S(j)\equiv \begin{cases}0,&若336\nmid j\\672,&若336\mid j \end{cases}\pmod{2022}

4783. 求证：单位圆上三点𝐴,𝐵,𝐶构成等边三角形的三个顶点的充要条件是它们所对应的复数𝑎,𝑏,𝑐满足
      公式：\frac{a}{2(b+c)-a}+\frac{b}{2(c+a)-b}+\frac{c}{2(a+b)-c}=-1

4784. 给定三角形𝐴𝐵𝐶和𝐶𝐴延长线上一点𝐷，满足𝐴𝐷=𝐴𝐵．设∠𝐵𝐴𝐶的角平分线和𝐵𝐶交于点𝐸，𝐹为𝐴𝐸中点，𝐶𝐹交𝐴𝐵于点𝐺．求证：𝐷、𝐺、𝐸三点共线．

4785. 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于一个半径为𝑅的圆，且面积为𝐹．求证：

公式：\dfrac{\sum\tan^2\dfrac{A}{2}}{\sum\cos^4\dfrac{A}{2}}\le\frac{16R^4}{F^2}

4786. 在△𝐴𝐵𝐶中，求证：

公式：\left(\sum_{cyc}\frac{1}{m_am_b}\right)\left(4s+\sum_{cyc}\frac{bc}{a}\right)\ge\frac{54}{s}

4787. 计算：

公式：\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\tan^2x}{x^2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{4+\sec^2x}

4788. 解方程：

公式：\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2^{k+1}}\left(x^{2^k}+1\right)^2=0

其中|𝑥|<1．

4789. △𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上有𝐷,𝐸两点，满足4𝐵𝐷=4𝐶𝐸=𝐵𝐶．圆Γ过点𝐴，且与线段𝐶𝐷相切，圆心为𝑂，和𝐴𝐵,𝐴𝐶,𝐴𝐷分别再次交于点𝑋,𝑌,𝑍．若Γ和𝐸𝑋均过线段𝐶𝑍的中点．求证：𝐶,𝑌,𝑍,𝑂四点共圆．

4790. 解方程组：

公式：\begin{cases} x\cos^3y+3x\sin^2y\cos y=14\\ x\sin^3y+3x\cos^2y\sin y=13 \end{cases}