加拿大CRUX杂志问题4701-4710

4701. 设𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹为△𝐴𝐵𝐶的三条内角平分线（𝐷在𝐵𝐶上，𝐸在𝐶𝐴上，𝐹在𝐴𝐵上）．过𝐷作𝐵𝐶的垂线，和𝐴𝐷的中垂线交于点𝐴^(′)，类似定义𝐵^(′)和𝐶^(′)．求证：𝐴𝐴^(′)，𝐵𝐵^(′)，𝐶𝐶^(′)三线共点，且满足

      𝐴𝐴^(′)⋅𝐵𝐵^(′)⋅𝐶𝐶^(′)≤((3𝑅)/(4))^(3)

      其中𝑅为△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径．

（Michel Bataille供题）

4702. 设𝑝为一个模4余3的素数，𝑆为所有模𝑝的平方剩余所构成的集合．求证：

      公式：\prod_{a< b \atop a, b \in S}(a+b)=\pm 1(\bmod p)

（S. Chandrasekhar供题）

4703. △𝐴𝐵𝐶的外接圆为圆𝑂，圆𝑂在点𝐴、𝐵、𝐶处的切线分别交于𝐷、𝐸、𝐹三点，其中𝐴在𝐸𝐹上，𝐵在𝐹𝐷上，𝐶在𝐷𝐸上．点𝐷^(′)、𝐸^(′)、𝐹^(′)分别为点𝐷、𝐸、𝐹关于𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐵的对称点．求证：𝐷^(′)𝐸^(′)∥𝑂𝐵当且仅当𝐷^(′)𝐹^(′)∥𝑂𝐶．

（陈嘉昊供题）

4704. 已知𝑎，𝑏，𝑐，𝑑∈[0,1)，求证：

      公式：\frac{1}{1-a^6}+\frac{1}{1-b^6}+\frac{1}{1-c^6}+\frac{1}{1-d^6}\geq\frac{2}{1-(abc)^2}+\frac{2}{1-abcd}.

（Daniel Sitaru供题）

4705. 求极限：公式：\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt[3]{k}}．

（Nguyen Viet Hung供题）

4706. 如图，圆𝑐_(1)和圆𝑐_(2)交于𝐴、𝐵两点，点𝑃在𝑐_(2)上，点𝑄在𝑐_(1)上．仅用一把没有刻度的直尺，作出𝑃𝑄中点，并进行证明．

（Thanos Kalogerakis供题）

4707. 设𝑛为整数，且满足𝑛≥2，求证：

      公式：\sum\limits_{k=1}^{n-1}\csc^2\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{n^2-1}{3}

      公式：\sum\limits_{k=1}^{n-1}\csc^4\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{n^4+10n^2-11}{45}

（Michel Bataille供题）

4708. 𝛼，𝛽，𝛾为任意三角形的三个内角，求证：

      公式：\dfrac{\cot\alpha+\cot\beta+\cot\gamma}{3}\leq\cot\left(\dfrac{3}{\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}}\right)

      并说明等号成立条件．

（Conar Goran供题）

4709. △𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，𝑂为外心．记𝐴𝑂交𝐵𝐶于点𝐷，𝐵𝑂交𝐶𝐴于点𝐸，𝐶𝑂交𝐴𝐵于点𝐹．若公式：BD\cos A=CE\cos B=AF\cos C，求证：△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．

（Ion Patrascu供题）

4710. 求证：存在连续2021个自然数，其中每个数都无法表示为一个完全平方数与一个完全立方数之和．

（Omar Sonebi供题，Editorial Board修改）