加拿大CRUX杂志问题4711-4720

4711. △𝐴𝐵𝐶的内心为𝐼，三个旁心分别为𝐼_(𝐴)、𝐼_(𝐵)、𝐼_(𝐶)．求证：四点系{𝐼,𝐼_(𝐴),𝐼_(𝐵),𝐼_(𝐶)}的质心为△𝐴𝐵𝐶的外心．

(Sergey Sadov供题)

4712. 设𝑛为正整数，对任意𝑧∈ℂ−{1,2,⋯,𝑛}，设

      𝑈_(𝑛)(𝑧)=∑_(𝑘=1)^(𝑛)(1)/(𝑘−𝑧),

      公式：V_n(z)=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}\dfrac{k}{(k-z)^2}

      求比值(𝑈_(𝑛)(𝑧))/(𝑉_(𝑛)(𝑧))的闭式表达式．

(Michel Bataille供题)

4713. 设𝑥，𝑦为不同的正实数．求证：若存在𝑛_(1)∈ℕ满足对任意𝑛≥𝑛_(1)，都有[𝑛𝑥]能够整除[𝑛𝑦]，则𝑥和𝑦均为整数．（[𝑎]表示实数𝑎的整数部分）

(András Szilárd供题)

4714. 设0<𝑎<𝑏，定义在[𝑎,𝑏]上的二阶可微函数𝑓在[0,+∞)递增且上凸．求证：若𝑎≤𝑥_(1)≤𝑥_(2)≤⋯𝑥_(𝑛)≤𝑏，则

      公式：\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}+x_i}\geq 0

      其中𝑥_(𝑛+1)=𝑥_(1)，且𝑛≥3．

(András Szilárd供题)

4715. (1)𝐴为一个3×3的矩阵，且其所有元素均为单位圆上的复数，满足det(𝐴)=0．问：𝐴是否一定有两行或两列成比例？
      (2)若𝐴为4×4的矩阵，情况如何？

(George Stoica供题)

4716. 方程𝑥^(3)+4𝑥^(2)+4𝑥+1=0的三个根分别为一个三角形三边的斜率．求这个三角形的欧拉线的斜率．

(Michael Friday供题)

4717. 计算以下积分：

      公式：\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x^{4} y^{3} z^{2}}{(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)} d x d y d z

(Toyesh Sharma供题)

4718. 𝑋、𝑌、𝑍分别为三角形△𝐴𝐵𝐶的三边𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐵上任意一点．过点𝑋作𝐴𝐵的平行线交𝐶𝐴于点𝑌^(′)；过点𝑌作𝐵𝐶的平行线交𝐴𝐵于点𝑍^(′)；过点𝑍作𝐶𝐴的平行线交𝐵𝐶于点𝑋^(′)．设𝐴、𝐵、𝐶、𝑋、𝑌、𝑍为不同的六点．求证：
      (1)若𝑋^(′)𝑌和𝐴𝐵交于点𝐷，𝑍^(′)𝑋和𝐶𝐴交于点𝐸，𝑌^(′)𝑍和𝐵𝐶交于点𝐹，则𝐷、𝐸、𝐹三点共线；
      (2)若𝑋𝑍和𝑋^(′)𝑍^(′)交于点𝑃，𝑋𝑌^(′)和𝑌𝑍^(′)交于点𝑄，𝑌𝑍和𝑋^(′)𝑌^(′)交于点𝑅，则𝑃、𝑄、𝑅三点共线；

(Pericles Papadopoulos供题)

4719. 给定三角形△𝐴𝐵𝐶及其外接圆𝑂．𝑃_(1)为直线𝐶𝐴上任意一点，定义如下点：
      过𝑃_(1)作𝑂𝐴的垂线和𝐴𝐵交于点𝑃_(2)；
      过𝑃_(2)作𝑂𝐵的垂线和𝐵𝐶交于点𝑃_(3)；
      过𝑃_(3)作𝑂𝐶的垂线和𝐶𝐴交于点𝑃_(4)；
      过𝑃_(4)作𝑂𝐴的垂线和𝐴𝐵交于点𝑃_(5)；
      过𝑃_(5)作𝑂𝐵的垂线和𝐵𝐶交于点𝑃_(6)．
      求证：𝑃_(6)𝑃_(1)和𝑂𝐶垂直．

(Neculai Stanciu供题，Editorial Board修改)

4720. 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)=12．求证：

      公式：\dfrac{a^4}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{b^4}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{c^4}{\sqrt{c^3+1}}\geq 16

(George Apostolopoulos供题)