赛题翻译
系列：中国台湾地区竞赛
2022年中国台湾数学奥林匹克
正文文字 347 字公式 45 处
设正整数𝑥，𝑦，𝑧满足gcd(𝑥,𝑦,𝑧)=1．若 𝑥∣𝑦𝑧(𝑥+𝑦+𝑧)， 𝑦∣𝑥𝑧(𝑥+𝑦+𝑧)， 𝑧∣𝑥𝑦(𝑥+𝑦+𝑧)， 且𝑥+𝑦+𝑧∣𝑥𝑦𝑧， 求证：𝑥𝑦𝑧(𝑥+𝑦+𝑧)为完全平方数．本题选自2021年IMO预选题，将于2022年IMO举办之后公开 求所有函数𝑓，𝑔：ℝ^(2)→ℝ，满足对任意实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，都有 
公式：|f(a,b)-f(c,d)|+|g(a,b)-g(c,d)|=|a-c|+|b-d|两个婴儿𝐴和𝐵用2022瓶牛奶进行一个游戏．每个奶瓶的最大容量为200ml，最初每个奶瓶中装有30ml的牛奶．从𝐴开始，两人轮流执行以下操作之一：
(1)选择一瓶至少100ml的牛奶，喝掉一半；
(2)选择两瓶少于100ml的牛奶，将其中一瓶中的牛奶倒入另一个奶瓶中，并将空瓶丢掉．
无法进行任何操作者输掉游戏．问：谁有必胜策略？
（命题人注：本题的另一个版本是，最初有1011个奶瓶中装有90ml的牛奶，另外1011个奶瓶中装有150ml的牛奶．两个问题的解决方案截然不同．
因此，一个有趣的问题是：在给定任意初始状态的情况下，确定具有获胜策略的人．这似乎是一个非常困难的问题，我们会对朝着这个方向取得的任何进展感兴趣．）在锐角三角形△𝐴𝐵𝐶中，𝐽为点𝐴所对的旁心．设𝑋，𝑌为△𝐴𝐶𝐽外接圆上的两点，且满足𝐽𝑋=𝐽𝑌<𝐽𝐶．𝑋𝑌上一点𝑃满足𝑃𝐵和△𝐴𝐵𝐶的外接圆相切．△𝐵𝑋𝑌的外接圆上一点𝑄满足𝐵𝑄和𝐴𝐶平行．求证：∠𝐵𝐴𝑃=∠𝑄𝐴𝐶．
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