赛题翻译 2021-12-09 系列：CRUX 问题

加拿大CRUX杂志问题4681-4690

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 481 字公式 56 处1 图

原文见：https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2021/11/CRUXv47n9.pdf

（Michel Bataille供题）设𝑛为正整数，
公式：P_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n}\left(x+4 \sin ^{2} \frac{2 k \pi}{2 n+1}\right)．
求𝑃_(𝑛)(0)和𝑃′𝑛(0)的值．
（Goran Conar供题）求集合{√(𝑚+𝑛,𝑚𝑛):𝑚,𝑛∈ℕ}的上确界和下确界（若其存在）．
（Warut Suksompong供题）对非负整数𝑛，记𝑆(𝑛)为𝑛在十进制表示中的各位数码之和．𝑃(𝑥)为一个非常数的整系数多项式．求证：对任意实数𝑟，存在整数𝑘，使得𝑆(|𝑃(𝑘)|)>𝑟．
（Alin Cretu供题）已知正七边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺各顶点都在圆Ω上．设𝐵𝐻∩Ω={𝐼}且𝐺，𝐷，𝐻三点共线．若𝐷𝐻=𝐷𝐶，求证：𝐻𝐼=𝐼𝐵．
（Abdollah Zohrabi供题）一个学校有24个学生，2间教室，每间教室可以坐12人．每个学生每天都去上学，而且恰好去其中一间教室．求证：可以安排所有学生去上14天学校，使得任意一对学生至少在同一个教室里出现一次．
（Nguyen Viet Hung供题）已知𝑎，𝑏，𝑐为正实数，求证：
公式：\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b} \geq \frac{a}{2}+\sqrt[3]{\frac{b^{3}+c^{3}}{2}}．
（Ovidiu Furdui and Alina Sîntâmârian供题）计算：
公式：\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}-\ln 2+\frac{1}{4 n}\right)．
(Mihaela Berindeanu供题）在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑀，𝑃在边𝐶𝐷上，𝑁在边𝐵𝐶上，满足𝐷𝑀=𝑀𝐶，𝑁𝐵=3𝑁𝐶，𝑃𝑁⊥𝐴𝑁．若𝐾为𝑀𝑁的中点，求证：∡(𝑃𝐴𝑀)=∡(𝐾𝐴𝑁)．
（Daniel Sitaru供题）已知正整数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥+𝑦+𝑧=3，解方程：
公式：x^{x^{2}} \cdot y^{y^{2}} \cdot z^{z^{2}}=\frac{1}{\left(x^{2}\right)^{x z} \cdot\left(y^{2}\right)^{y z} \cdot\left(z^{2}\right)^{z y}}．