加拿大CRUX杂志问题4791-4800

4791.

设𝑣_(1)，⋯，𝑣_(𝑛)均为ℂ^(𝑛)中的单位向量．求证：如果在ℂ^(𝑛)中所有的单位向量中，𝑢能使得∏_(𝑖=1)^(𝑛)|𝑣_(𝑖)⋅𝑢|取得最大值，则对任意𝑖，|𝑣_(𝑖)⋅𝑢|≥(1)/(√(𝑛))．

4792.

在△𝐴𝐵𝐶中，内心为𝐼，∠𝐵和∠𝐶的内角平分线分别和对边𝐴𝐶、𝐴𝐵交于点𝐷、𝐸．若𝑆_(𝐵𝐼𝐶)=𝑆_(𝐴𝐸𝐼𝐷)，求证：∠𝐴=60^(∘)．

4793.

正偶数𝑎和奇素数𝑝满足gcd(𝑎^(2)−1,𝑝)=1．求证：𝑎^(𝑛−1)−1能被𝑛整除，其中𝑛=(𝑎^(2𝑝)−1)/(𝑎^(2)−1)．

4794.

设𝑃(𝑥)=𝑥^(2)+𝑏𝑥+1，其中𝑏为非负整数．定义𝑥_(0)=0，对任意整数𝑖≥0，𝑥_(𝑖+1)=𝑃(𝑥_(𝑖))．求所有多项式𝑃(𝑥)，使得存在正整数𝑛>1，满足𝑛∣𝑥_(𝑛)．

4795.

数列{𝑥_(𝑛)}和{𝑦_(𝑛)}定义如下：𝑥_(1)=(1)/(9)，𝑥_(𝑛+1)=9𝑥3𝑛，∀𝑛≥1，𝑦_(𝑛)=9𝑥2𝑛+3𝑥_(𝑛)+1，求lim_(𝑛→∞)𝑦_(1)⋅𝑦_(2)⋯𝑦_(𝑛)的值．

4796.

不超过1的正实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)=1．求证：
公式：\dfrac{a_1^2}{(1-a_1)^2}+\dfrac{a_2^2}{(1-a_2)^2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{(1-a_n)^2}
公式：\ge\left(\dfrac{a_1}{1-a_1}+\dfrac{a_2}{1-a_2}+\cdots+\dfrac{a_n}{1-a_n}-\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1}\right)^2.

4797.

设𝑥，𝑦，𝑧为正实数．求证：

公式：\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z.

4798.

𝐿为圆𝜔内任意一点，六点𝐴_(1)，𝐴_(2)，𝐴_(3)，𝐵_(1)，𝐵_(2)，𝐵_(3)在𝜔上顺时针依次排列，且满足公式：\angle LA_1A_2=\angle LA_2A_3=\angle LB_1B_2=\angle LB_2B_3．求证：𝐴_(1)𝐵_(3)，𝐴_(2)𝐵_(2)，𝐴_(3)𝐵_(1)三线共点或平行．

4799.

计算：lim_(𝑛→∞)∫21√(⌊𝑥^(𝑛)⌋,𝑛)d𝑥．

4800.

半径不相等的两圆Γ_(1)、Γ_(2)的圆心分别为𝑂_(1)、𝑂_(2)，且交于𝐴_(1)、𝐴_(2)两点．点𝐶_(1)在Γ_(1)上，点𝐶_(2)在Γ_(2)上，满足𝐶_(1)𝐶_(2)和𝑂_(1)𝑂_(2)平行，且𝐴_(1)、𝐴_(2)、𝑂_(1)、𝑂_(2)都不在直线𝐶_(1)𝐶_(2)上．设直线𝐶_(1)𝑂_(1)和𝐶_(2)𝑂_(2)交于点𝑀，𝑀𝐴_(1)、𝑀𝐴_(2)分别和𝐶_(1)𝐶_(2)交于点𝐵_(1)、𝐵_(2)．求证：△𝑀𝐵_(1)𝐵_(2)和△𝑀𝐶_(1)𝐶_(2)的外接圆相切．