2023跨年题的解答

答案：

2023

（没错，就是这个神奇的年份数字）

主要思路：

按照第一列和第二列、第二列和第三列、第三列和第四列组成的三个4×2矩形内L形的放置情况分类讨论．

基本图形：

首先枚举4×2矩形内放置L形的所有情况，一共如下33种：

但是可以发现，里面有一些图形本质上是一样的，比如考虑对称性时，第2、5、9、12个图形是一样的，这在一会的分类讨论过程中能够减少讨论次数．

我们将基本图形减少为如下11种：

每种的个数依次为1、4、4、4、4、2、2、4、2、2、4

再考虑单独一列被L形覆盖的格子情况，一共只有10种情况：

例如，以下基本图形的左列和右列均为第8种单列情况．

开始计数：

从第二、三列开始，其中完整的L形共有33种覆盖方式．我们考虑在每种覆盖方式下，第一、二列和第三、四列还能放入哪几种基本的4×2图形．

（以下为无趣的枚举，读者可以先自行尝试）

(1)左右均没有任何限制，方法数为33×33=1089．

(2)左边为第四种单列情形，故第一、二列可以为第1、7、10、11、12、13种基本图形，共6种；

右边为第二种单列情形，故第三、四列可以为第1、4、6、7、8、9、10、11、12、13、22、23、24、25、32、33种基本图形，共16种．

此类情况方法数为6×16×4=384．

(3)左边为第四种单列情形（同(2)左边），故第一、二列共6种；

右边为第三种单列情形，故第三、四列可以为第1、5、8、10、11、12、13、26、27、28、29种基本图形，共11种．

此类情况方法数为6×11×4=264．

(4)左边为第五种单列情形，故第一、二列可以为第1、2、10、15种基本图形，共4种；

右边为第三种单列情形（同(3)左边），故第三、四列共11种．

此类情况方法数为4×11×4=176．

(5)左边为第十种单列情形，故第一、二列只能为第1种基本图形，共1种；

右边为第六种基本图形，故第三、四列可以为第1、4、9、13、24种基本图形，共5种．

此类情况方法数为1×5×4=20．

(6)左边为第十种单列情形，故第一、二列只能为第1种基本图形，共1种；

右边为第七种基本图形，故第三、四列可以为第1、4、6、7、8、9、12、25种基本图形，共8种．

此类情况方法数为1×8×2=16．

(7)左边为第九种单列情形，故第一、二列只能为第1、7、11种基本图形，共3种；

右边为第九种单列情形，故第三、四列也共3种．

此类情况方法数为3×3×2=18．

(8)左边为第八种单列情形，故第一、二列只能为第1、10种基本图形，共2种；

右边为第九种单列情形，故第三、四列共3种．

此类情况方法数为2×3×4=24．

(9)左边为第十种单列情形，故第一、二列只能为第1种基本图形，共1种；

右边为第五种单列情形，故第三、四列只能为第1、5、13、29种基本图形，共4种．

此类情况方法数为1×4×2=8．

(10)左边为第八种单列情形，故第一、二列共2种；

右边为第八种单列情形，故第三、四列共2种．

此类情况方法数为2×2×2=8．

(11)左边为第八种单列情形，故第一、二列共2种；

右边为第八种单列情形，故第三、四列共2种．

此类情况方法数为2×2×4=16．

综上，方法总数为 公式：1089+384+264+176+20+16+18+24+8+8+16=2023

注：

一般的2×𝑛、3×𝑛和4×𝑛的情形可以点击阅读原文查看．（4×𝑛的情形十分复杂）