2023TMO代数题解答

证明：𝑚是7的倍数．

分析：

本题方程个数少于未知数个数，考虑使用不等式证明方程组的解恰为不等式的取等条件．

首先取𝑚=7，尝试求出方程的一组解．

考察方程组

公式：\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^7a_i=7\\ \sum\limits_{i=1}^7a_i^2=77\\ \sum\limits_{i=1}^7a_i^3=7\\ \sum\limits_{i=1}^7a_i^4=917\\ \end{cases}

显然𝑎_(𝑖)不全相等，下面考虑其中有两个不同的取值，即有𝑛个𝑎，7−𝑛个𝑏，𝑎≠𝑏．方程组变为：

公式：\begin{cases} n\cdot a+(7-n)\cdot b=7\\ n\cdot a^2+(7-n)\cdot b^2=77\\ n\cdot a^3+(7-n)\cdot b^3=7\\ n\cdot a^4+(7-n)\cdot b^4=917\\ \end{cases}

即

公式：\begin{cases} (a-b)n=7-7b\\ (a^2-b^2)n=77-7b^2\\ (a^3-b^3)n=7-7b^3\\ (a^4-b^4)n=917-7b^4\\ \end{cases}

由𝑎≠𝑏得：

公式：\frac{1-b}{a-b}=\frac{11-b^2}{a^2-b^2}=\frac{1-b^3}{a^3-b^3}=\frac{91-b^4}{a^4-b^4}

容易求出(𝑎,𝑏)=(3,−4)或(−4,3)．

下面利用平方的非负性来证明，方程组成立时，𝑎_(𝑖)只能取−4或3．

证明：

考虑𝑓=∑_(𝑖=1)^(𝑚)(𝑎_(𝑖)+4)^(2)(𝑎_(𝑖)−3)^(2)．首先𝑓≥0．

而

公式：\begin{aligned} f=&\sum\limits_{i=1}^m(a_i+4)^2(a_i-3)^2\\ =&\sum_{i=1}^ma_i^4+2\sum_{i=1}^ma_i^3-23\sum_{i=1}^ma_i^2-24\sum_{i=1}^ma_i+\sum_{i=1}^m144\\ =&131m+2\cdot m-23\cdot 11m-24\cdot m+144m\\ =&0 \end{aligned}

于是，方程组成立时，𝑎_(𝑖)只能取−4或3．设其中有𝑛个−4，𝑚−𝑛个3，则

即2𝑚−7𝑛=0，于是7∣𝑚，证毕．