一道初联代数题的推广

解答 由𝑎+(1)/(𝑏)=𝑡得𝑏=(1)/(𝑡−𝑎)．

代入𝑏+(1)/(𝑐)=𝑡，得

整理得：

又由𝑐+(1)/(𝑎)=𝑡，可得𝑎𝑐+1=𝑎𝑡．

代入上式得：

即

又由于𝑐≠𝑎，于是𝑡^(2)−1=0，即

并且𝑏=(1)/(1−𝑎)，𝑐=(𝑎−1)/(𝑎)时，𝑡=1；𝑏=−(1)/(1+𝑎)，𝑐=−(𝑎+1)/(𝑎)时，𝑡=−1．

故答案为：±1．

值得一提的是，由本题条件还可以得到𝑎𝑏𝑐=±1这一结论．

分析 利用题目1的结果不难得到．考虑到轮换的结构，我们还有下面的证法．

证明 由𝑎+(1)/(𝑏)=𝑏+(1)/(𝑐)可得：

同理有

及

三式相乘即证．

在一些地方可以见到上面两题的四元推广，本质做法基本一样．但题目1的复杂程度会大幅提升，而题目2基本没有改变．于是想到将题目1推广为𝑛元形式．

分析 这本质是一个数列问题．建立𝑎_(𝑘+1)和𝑎_(𝑘)的递推式（含𝑡），显而易见，这是一个分式线性递推数列．本题即要求使得该数列为周期数列，且最小周期为𝑛的实数𝑡．

分式线性递推数列的周期性判断有比较复杂的方法，在此不再赘述．可以参见 知乎——如何通过递推公式的特征方程求周期数列的周期?

在本文中，我们可以发现

𝑛=2时，𝑡=0=±2cos(𝜋)/(2)；

𝑛=3时，𝑡=±1=±2cos(𝜋)/(3)；

𝑛=4时，𝑡=±√(2)=±2cos(𝜋)/(4)．

想到使用与余弦有关的工具进行处理（第二切比雪夫多项式）．

解答 对于任意非零实数𝑎_(1)，定义𝑟_(0)(𝑥)=𝑎_(1)，𝑟_(𝑘)(𝑥)=2𝑥−(1)/(𝑟_(𝑘−1)(𝑥))(𝑘≥1)．

设𝑈_(𝑘)(𝑥)为第二切比雪夫多项式，其满足𝑈_(−1)(𝑥)=0，𝑈_(0)(𝑥)=1，𝑘≥1时，

公式：U_k(x)=2xU_{k-1}(x)-U_{k-2}(x)

下面用数学归纳法证明：𝑘≥1时，有

公式：r_k(x)=a_1+\dfrac{\left(2a_1x-a_1^2-1\right)U_{k-1}(x)}{a_1U_{k-1}x-U_{k-2}x}

（1）𝑘=1时，结论显然成立；

（2）假设结论在𝑘时成立，那么在𝑘+1时，

公式：\begin{align*} r_{k+1}(x)=&2x-\dfrac{1}{r_k(x)}\\ =&2x-\dfrac{1}{a_1+\dfrac{\left(2a_1x-a_1^2-1\right)U_{k-1}(x)}{a_1U_{k-1}x-U_{k-2}x}}\\ =&2x-\dfrac{a_1U_{k-1}(x)-U_{k-2}(x)}{a_1U_k(x)-U_{k-1}(x)}\\ =&a_1+\dfrac{(2x-a_1)\left(a_1U_k(x)-U_{k-1}(x)\right)-a_1U_{k-1}(x)+U_{k-2}(x)}{a_1U_k(x)-U_{k-1}(x)}\\ =&a_1+\dfrac{(2a_1x-a_1^2-1)U_k(x)}{a_1U_k(x)-U_{k-1}(x)} \end{align*}

于是结论在𝑘+1时也成立．

设𝑡=2𝑥，即

公式：a_1+\dfrac{1}{a_2}=a_2+\dfrac{1}{a_3}=\cdots=a_n+\dfrac{1}{a_1}=2x

于是

公式：\begin{align*} &a_n=2x-\dfrac{1}{a_1}=r_1(x)\\ \Longrightarrow&a_{n-1}=2x-\dfrac{1}{a_n}=r_2(x)\\ \Longrightarrow&\cdots\\ \Longrightarrow&a_1=2x-\dfrac{1}{a_2}=r_n(x) \end{align*}

即

公式：a_1=a_1+\dfrac{\left(2a_1x-a_1^2-1\right)U_{n-1}(x)}{a_1U_{n-1}x-U_{n-2}x}

只能有𝑈_(𝑛−1)(𝑥)=0．而我们知道

公式：U_{n-1}(x)=2^{n-1}\prod\limits_{i=1}^{n-1}(x-\cos\dfrac{i\pi}{n})

于是𝑡=2𝑥=2cos(𝑖𝜋)/(𝑛)，其中正整数𝑖满足1≤𝑖≤𝑛−1，且gcd(𝑖,𝑛)=1（保证不会存在更小的周期）．

事实上，上述过程展示了𝑎_(𝑛+1)=𝑡−(1)/(𝑎_(𝑛))这类分式线性递推数列为周期数列的另一种处理方式．