三角换元法求一个二元最值

题目 已知𝑎，𝑏为实数，求

公式：\dfrac{(1-a)(1-b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}

（Mathematical Reflection O515）

分析 首先尝试令𝑎=𝑏去猜测取得最值的条件．（一般而言，对称式在变量相等处取得极值）

设公式：f(a,b)=\dfrac{(1-a)(1-b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}．

则公式：f(a,a)=g(a)=\dfrac{(1-a)^3(1+a)}{(1+a^2)^2}．

于是公式：g'(a)=-\dfrac{(a-1)^2(a^2+4a+1)}{(a^2+1)^3}．

因此𝑔(𝑎)极值点为−2±√(3)．

这是一个不太容易直接由代数变形产生的数字，但注意到它们在三角函数中的特殊性：

与

转而考虑三角换元．由𝑎，𝑏可取任意实数以及上述分析，我们选择正切函数进行换元．

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解答 令𝑎=tan𝑥，𝑏=tan𝑦，其中𝑥,𝑦∈(−(𝜋)/(2),(𝜋)/(2))，并记原式为𝑓． 则

公式：\begin{align*} f=&\dfrac{(1-\tan x)(1-\tan y)(1-\tan x\tan y)}{(1+\tan^2x)(1+\tan^2y)}\\ =&\dfrac{(\cos x-\sin x)(\cos y-\sin y)(\cos x\cos y-\sin x\sin y)}{(\cos^2x+\sin^2x)(\cos^2y+\sin^2y)}\\ =&(\cos x-\sin x)(\cos y-\sin y)(\cos x\cos y-\sin x\sin y)\\ =&(\cos x\cos y+\sin x\sin y-\cos x\sin y-\sin x\cos y)\cos(x+y)\\ =&(\cos(x-y)-\sin(x+y))\cos(x+y)\\ =&\left(\cos(x-y)-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x-y\right)\right)\cos(x+y)\\ =&2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-y\right)\cos(x+y) \end{align*}

为书写方便，记𝛼=(𝜋)/(4)−𝑥，𝛽=(𝜋)/(4)−𝑦．

于是𝑓=2sin(𝛼+𝛽)sin𝛼sin𝛽．

由Cauchy不等式及均值不等式，有

公式：\begin{align*} f^2=&4\sin^2(\alpha+\beta)\sin^2\alpha\sin^2\beta\\ =&4(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^2\sin^2\alpha\sin^2\beta\\ \leq&4(\sin^2\alpha+\sin^2\beta)(\cos^2\alpha+\cos^2\beta)\sin^2\alpha\sin^2\beta\\ =&\dfrac{16}{3}\cdot\dfrac{\sin^2\alpha+\sin^2\beta}{2}\cdot\dfrac{3\cos^2\alpha+3\cos^2\beta}{2}\cdot\sin^2\alpha\cdot\sin^2\beta\\ \leq&\dfrac{16}{3}\left(\dfrac{\dfrac{\sin^2\alpha+\sin^2\beta}{2}+\dfrac{3\cos^2\alpha+3\cos^2\beta}{2}+\sin^2\alpha+\sin^2\beta}{4}\right)^4\\ =&\dfrac{27}{16} \end{align*}

即−(3√(3))/(4)≤𝑓≤(3√(3))/(4)．

当𝑎=𝑏=−2±√(3)时，𝑓分别取得最大（小）值±(3√(3))/(4)．