一道三元不等式及其加强

证明 由Cauchy不等式：

公式：\begin{align*} &\left(2+(a+b)^2\right)\left(c^2+2\right)\\ \geq&\left(\sqrt{2}c+\sqrt{2}(a+b)\right)^2\\ =&2(a+b+c)^2 \end{align*}

于是只需证明：

公式：\begin{align*} &2(a^2+2)(b^2+2)\geq 3\left(2+(a+b)^2\right)^2\\ \iff&2a^2b^2+a^2+b^2-6ab+2\geq 0\\ \iff&2(ab-1)^2+(a-b)^2\geq 0 \end{align*}

显然成立．

本题可以加强为如下不等式：

证明 注意到

公式：\begin{align*} &(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\\ &-3(a+b+c)^2-(abc-1)^2\\ =&7+a^2+b^2+c^2-6ab-6bc-6ca\\ &+2abc+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\\ =&(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\\ &+2(a-1)(b-1)(c-1)\\ &+2(ab-1)^2+2(bc-1)^2+2(ca-1)^2 \end{align*}

故原不等式在𝑎，𝑏，𝑐均不小于1时成立．

𝑎，𝑏，𝑐中存在小于1的数时，不妨设

由均值不等式：

公式：\begin{align*} &(b-1)^2+(c-1)^2+2(a-1)(b-1)(c-1)\\ \geq&(b-1)^2+(c-1)^2-2|(b-1)(c-1)|\\ \geq&0 \end{align*}

于是原不等式也成立，证毕．