一道IMOC不等式及加强的证明

证明： 原不等式等价于：

公式：\begin{align*} &4-\sum\limits_{cyc}\dfrac{a^{3}}{a+b}\geq 4abcd-2\\ \iff&\sum\limits_{cyc}\left(a^{2}-\dfrac{a^{3}}{a+b}\right)\geq 4abcd-2\\ \iff&\sum\limits_{cyc}\dfrac{a^{2}b}{a+b}\geq 4abcd-2 \end{align*}

设公式：x=\sum\limits_{cyc}ab\leq \sum\limits_{cyc}\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}=4，由

公式：\sum\limits_{cyc}\dfrac{a^{2}b}{a+b}=\sum\limits_{cyc}\dfrac{a^{2}b^{2}}{ab+b^{2}}\geq\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}ab\right)^{2}}{\sum\limits_{cyc}(ab+b^{2})}=\dfrac{x^{2}}{4+x}

公式：4abcd-2\leq4\cdot \dfrac{(a+c)^{2}}{4}\cdot\dfrac{(b+d)^{2}}{4}-2=\dfrac{x^{2}}{4}-2

故只需证：

公式：\dfrac{x^{2}}{4+x}\geq \dfrac{x^{2}}{4}-2\iff \dfrac{(4-x)(x^{2}+4x+8)}{4(x+4)}\geq 0

显然成立．

龚固老师的加强： 求实数𝑡的取值范围，对任意满足𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)+𝑑^(2)=4的正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，有

公式：\dfrac{a^{3}}{a+b}+\dfrac{b^{3}}{b+c}+\dfrac{c^{3}}{c+d}+\dfrac{d^{3}}{d+a}+tabcd\leq 2+t\text{．}

证明： 当𝑎=𝑐→0时，∑_(𝑐𝑦𝑐)(𝑎^(3))/(𝑎+𝑏)→4，可得𝑡≥2．下证𝑡≥2时，不等式成立．

同上，只需证明：

公式：\dfrac{x^{2}}{4+x}\geq \dfrac{t}{16}x^{2}-t+2=\left(\dfrac{x^{2}}{16}-1\right)t+2

不等式右侧为关于𝑡的一次函数，且(𝑥^(2))/(16)−1≤0，故在𝑡=2时取得最大值．

因此，只需证明：