2021年全俄数学奥林匹克

九年级组

1. 在圆周上给定10000个点，每个点用𝑘种颜色之一染色，已知在任意5条两两相交的线段中（其端点是10个互不相同的点），至少有3条线段，其中每条线段的两个端点颜色不同.求𝑘的最小可能值．
2. 𝑛是一个自然数，若对于𝑛的任意一个正因数𝑑（𝑑≠𝑛）都有𝑎^(𝑑)+2^(𝑑)|𝑎^(𝑛)−2^(𝑛)，则称𝑎是“好数”，求出所有存在“好数”的合数𝑛的所有可能值．
3. 一条直线上有𝑛+1条线段，使得直线上存在某点，其在所有这𝑛+1条线段上．求证：其中必存在两条线段𝐼和𝐽，使得𝐼和𝐽公共部分的长度不小于(𝑛−1)/(𝑛)𝑑，其中𝑑为线段𝐼的长度．
4. 在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐴𝐵上一点，𝐸是𝐵𝐶延长线上一点，已知过𝐸且与𝐴𝐵平行的直线与△𝐴𝐷𝐶的外接圆相切，证明：点𝐸关于△𝐵𝐶𝐷外接圆的切线（与射线𝐵𝐴相交）在∠𝐴𝐵𝐸内部截得的三角形与△𝐴𝐵𝐶相似．
5. 已知实数𝑏>0，𝑎满足二次方程𝑥^(2)+𝑎𝑥+𝑏=0有两个不等实数根，且恰有一实数根在区间[−1,1]上，证明：恰好有一个实数根在区间[−𝑏,𝑏]上．
6. 在非等腰△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=60^(∘)，在三角形内取一点𝑇满足∠𝐴𝑇𝐶=∠𝐵𝑇𝐶=∠𝐵𝑇𝐴=120^(∘)，𝑀为△𝐴𝐵𝐶的重心，记𝑇𝑀与圆(𝐴𝑇𝐶)的另一交点为𝐾，求(𝑇𝑀)/(𝑀𝐾)的值．
7. 已知正整数𝑛>20及𝑘>1，满足𝑛被𝑘^(2)整除．求证：存在正整数𝑎，𝑏，𝑐，使得𝑛=𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎．
8. 一百个智者玩以下游戏：他们以某种固定的顺序在房间前面等待，智者一个接一个地进入房间． 当智者进入房间时，房间中的守卫从集合{1,2,3}中选择两个任意不同的数告诉智者.然后，智者选择其中一个数，告诉守卫然后离开房间，下一个智者进入，依此类推.比赛期间，在智者选择一个号码之前，他可以询问守卫，前两个智者选择的号码是什么． 在游戏中，智者不能互相交谈． 最后，当每个人都结束后，如果100个所选数字的总和恰好是200，则该游戏将被视为失败；否则成功． 证明智者可以制定策略，以此赢得比赛．

十年级组

1. 在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸、𝐹为边𝐵𝐶上给定两点（𝐸在𝐵和𝐹之间），对角线𝐴𝐶和𝐵𝐷交于点𝑂．已知𝐴𝐸，𝐷𝐹为△𝐴𝑂𝐷外接圆的两条切线．求证：𝐴𝐸，𝐷𝐹也为△𝐸𝑂𝐹外接圆的切线．
2. 求所有正整数组成的集合{𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(20)}满足

   公式：x_{i+2}^{2}=lcm(x_{i+1},x_{i})+lcm(x_{i},x_{i-1})

   其中𝑖=1,2,⋯,20，且𝑥_(0)=𝑥_(20)，𝑥_(21)=𝑥_(1)，𝑥_(22)=𝑥_(2)．
3. 某国家有𝑁个城市，其中一些成对的城市通过双向航线互相连接（每对城市之间最多一条双向航线），每条航线都属于𝑘个公司之一．已知现在可以从任意一个城市通过航线到任意的另一个城市，但当删除任意一家航空公司的所有航线时，便无法做到了．该国家最多可能有多少个航空公司？
4. 给定自然数𝑛>4，有2𝑛+4张编号依次为1，2，⋯，2𝑛+4的卡片．在编号为𝑚的卡片上写有实数𝑎_(𝑚)，使得⌊𝑎_(𝑚)⌋=𝑚．求证：可以从中选出4张卡片，使得其中两张卡片上的数字之和与剩下两张卡片上的数字之和的差小于(1)/(𝑛−√((𝑛)/(2)))．
5. 一位老师和她的30个学生在一个无限单元网格上进行如下游戏．从老师开始，接着30个学生各进行一次操作，然后又轮到老师，一直这样进行下去．每个人在一次操作中可以在网格中选取一条单元边（即两个相邻单元的公共边）进行染色，每条边不能被重复染色．如果在若干次操作后，网格上存在一个1×2或2×1的矩形，其整个边框均被染色，但内部的一条单元边未被染色，则老师获胜．求证：老师有获胜的策略．
6. 给定一个实系数多项式𝑃(𝑥)，其次数𝑛>1．已知方程𝑃(𝑃(𝑃(𝑥)))=𝑃(𝑥)有𝑛^(3)个不同的实根．求证：这些实根可以被分为算术平均数相等的两组．
7. 同九年级组第7题
8. 五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸内接于圆𝑘，𝐶𝐷与𝐴𝐵、𝐴𝐸分别交于点𝑋、𝑌．线段𝐸𝑋和𝐵𝑌交于点𝑃，且和圆𝑘再次交于点𝑄和点𝑅．𝐴^(′)为𝐴关于𝐶𝐷的对称点，圆(𝑃𝑄𝑅)和圆(𝐴^(′)𝑋𝑌)交于𝑀和𝑁两点．求证：𝐶𝑀和𝐷𝑁的交点在圆(𝑃𝑄𝑅)上．

十一年级组

1. 对于某些正整数𝑛>𝑚，𝑛能表示成𝑚的2021个非负整数次幂之和，也可以表示成𝑚+1的2021个非负整数次幂之和．求正整数𝑚的最大可能值．
2. 非零多项式𝑃(𝑥)的次数𝑛>1，且所有系数均为非负数，已知𝑦=𝑃(𝑥)为奇函数．问：在𝑦=𝑃(𝑥)的图像𝐺上是否存在𝑛个点𝐴_(1)，𝐴_(2)，⋯，𝐴_(𝑛)满足：𝐺在𝐴_(1)处的切线经过𝐴_(2)，𝐺在𝐴_(2)处的切线经过𝐴_(3)，……，𝐺在𝐴_(𝑛)处的切线经过𝐴_(1)？
3. 某种语言中只含有三个字母——𝐴，𝐵，𝐶．一个字母序列被称作一个单词当且仅当它恰好含有100个字母，使得其中40个字母是辅音字母（即𝐵和𝐶），而剩余60个字母全为𝐴．最多可以选取多少个不同的单词，对于其中任意两个单词，都存在一个相同的位置，使得这两个单词在该位置上恰好是两个不同的辅音字母？
4. 在△𝐴𝐵𝐶中，角平分线𝐴𝐴_(1)和𝐶𝐶_(1)交于点𝐼．过𝐵作𝐴𝐶的平行线分别交射线𝐴𝐴_(1)，𝐶𝐶_(1)于点𝐴_(2)，𝐶_(2)．设𝑂_(𝑎)和𝑂_(𝑐)分别为△𝐴𝐶_(1)𝐶_(2)和△𝐶𝐴_(1)𝐴_(2)的外心．求证：∠𝑂_(𝑎)𝐵𝑂_(𝑐)=∠𝐴𝐼𝐶．
5. 同十年级组第5题
6. 在四面体𝐴𝐵𝐶𝑆中，任意两条边的长度都不相等.在平面𝐵𝐶𝑆中，作𝑆关于𝐵𝐶中垂线的对称点𝐴^(′)，类似地定义𝐵^(′)与𝐶^(′)点．证明：平面𝐴𝐵𝐶,𝐴𝐵^(′)𝐶^(′),𝐴^(′)𝐵𝐶^(′),𝐴^(′)𝐵^(′)𝐶经过同一个点．
7. 求(1,2,⋯,2021)的所有排列(𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(2021))，使得对任意满足𝑚−𝑛>20^(21)的正整数𝑚和𝑛，都有以下不等式成立：

公式：\begin{align*} &\gcd(m + 1,n + a_1)\\ +&\gcd(m + 2,n + a_2)\\ +&\cdots\\ +&\gcd(m + 2021,n + a_ {2021})\\ <&2 | m-n | \end{align*}

8. 已知100名女生中每名女生都有100个染有颜色的球，共有10000个球，其中共有100种颜色，每种颜色的球恰有100个.她们可以进行如下操作：两名女生可以互相交换1个球（例如甲给乙1个球，乙给甲1个球），证明：存在一系列的操作，每个球最多交换1次，最后，每个女孩都有100个颜色互不相同的球．