从一个集合问题的构造到有限射影平面

题目1 有54个8元集合，其中任意两个集合的交集恰有一个元素，则这些集合的并集至少有几个元素？

事实上，本题可以推广到一般情况：

题目2 𝑝为素数时，试构造𝑝^(2)+𝑝+1个集合，共含有𝑝^(2)+𝑝+1个不同的元素，每个集合含有𝑝+1个元素，且两两交集元素个数为1．

首先尝试把题目中的各个概念具体化，由“两两交集元素个数为1”这一条件想到“两条不同直线至多有一个交点”，于是变为如下问题：

题目3 𝑝为素数，试在平面上作𝑝^(2)+𝑝+1条直线，任意两条直线均不平行，产生𝑝^(2)+𝑝+1个不同的交点，满足一条直线经过𝑝+1个上述交点．

接下来尝试进行构造．

容易知道，这些直线两两不平行，但交点个数远远少于((𝑝^(2)+𝑝+1)/(2))，于是必存在多个多线共点的情况．我们对这些直线进行分组，首先考虑平均分组，容易知道平均每个交点在𝑝+1条直线上．

先考虑其中一条直线𝑙，𝑙上有𝑝+1个交点：

每个交点𝐴_(𝑖)还被另外𝑝条直线（记它们组成的集合为𝐿_(𝑖)）穿过．

对于𝐿_(𝑝+1)中的任意一条直线𝑙_(𝑝+1,𝑚)，其上除了𝐴_(𝑝+1)外还有𝑝个交点，即为其与𝐿_(1)，𝐿_(2)，⋯，𝐿_(𝑝)中的𝑝^(2)条直线产生的所有交点．

注意到𝐿_(𝑗)中两条不同直线必交于𝐴_(𝑗)，故不会交于其它点．因此𝑙_(𝑝+1,𝑚)上的每个交点恰好被𝐿_(1)，𝐿_(2)，⋯，𝐿_(𝑝)这𝑝组直线中每组一条穿过．

至此，我们已经大概了解了这些点和线的结合方式，按照上述方法也能直接给出𝑝较小时的构造．但是一般情形的构造还是比较困难．下面我们借助射影平面来进行构造．

先给出射影平面的定义：

射影平面由一组线、一组点，以及一个点与线之间的结合关系所组成，并具有以下性质：

1. 给定任意两个不同的点，恰有一条线会结合这两个点．
2. 给定任意两条不同的线，恰有一个点会结合这两条线．
3. 存在四个点，使得没有线可以结合两个以上的这些点．

射影平面在欧氏平面的每一组平行线上附加上了一个新的点．该点可被视为结合该组的每条线．不同组平行线会得到不同的点，这些点被称为无穷远点．并且增加了一条线，让该线视为结合所有（且只有）无穷远点，该线被称为无穷远线．

考虑在射影平面进行构造，令𝑙为无穷远线，则𝐴_(1)，𝐴_(2)，⋯，𝐴_(𝑝+1)为无穷远点，后面的构造方式同上．于是该构造在欧氏平面上的描述如下：

取𝑝^(2)个点公式：\{(x,y)|1\leq x,y\leq p,x,y\in\mathbb{Z}\}，过每一点作𝑝+1条斜率分别为0，1，⋯，∞的直线，则会产生𝑝+1组平行线，其交于𝑙上的𝑝+1个不同点：𝐴_(1)，𝐴_(2)，⋯，𝐴_(𝑝+1)．其余不平行的直线每𝑝条线交于一点(这里认为(2,1)，(3,2)，⋯，(𝑝,𝑝−1)，(1,𝑝)这𝑝个点是共线的，可以理解为(𝑝,𝑝−1)与(1,𝑝)之间有一个无穷远点），构造完毕．

事实上，可证明一个射影平面会有相同数量的点与线（有限或无限）．因此，对每个有限射影平面而言，总存在一个整数𝑁≥2，使得该平面有𝑁^(2)+𝑁+1个点，𝑁^(2)+𝑁+1条线，每条线上有𝑁+1个点，且每个点会有𝑁+1条线．该整数𝑁即称为该射影平面的阶．

可以证明，存在一个为𝑁=𝑝^(𝑛)阶的射影平面，其中𝑝为素数，𝑛为正整数．实际上，所有已知的有限射影平面，其阶均为𝑝^(𝑛)的形式．

是否存在其它阶的有限射影平面仍是个未解的问题．唯一一个已知在阶上的限制为Bruck–Ryser–Chowla定理：若阶𝑁模4余数为1或2，则必为两个完全平方数之和．由此排除了𝑁=6．下一个𝑁=10的例子也已透过大量的电脑运算排除．剩下的数目前还没有证明或证伪，包括下一个𝑁=12的情形．

这也是题目中要求𝑝为素数的原因．